§ 4. Волновая функция основного состояния атома водорода

Для основного состояния атома водорода квантовые числа n, l, m_l   имеют следующие значения:

n = 1, l = 0, m_l = 0.

Это состояние обозначают 1s. Уравнение Шредингера имеет для 1s состояния решение ψ_nim = ψ₁₀₀ которое зависит только от расстояния r между ядром и электроном:

Здесь   - первый боровский радиус.

В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции вероятность dw обнаружить электрон в объеме dV:

Отметим, что dw зависит от выбранной нами формы элементарного объема dV.

Если взять dV в форме прямоугольного параллелепипеда, т.е.  dV = dxdydz и обозначить через dw соответствующую вероятность, то

В этом случае плотность вероятности обнаружить электрон в объеме параллелепипеда dV = dxdydz будет равна

Плотность вероятности имеет максимальное значение (1/π₀³) при r = 0, график этой функции изображен на рисунке 8.3.

Рис. 8.3.

Так как волновая функция 1s состояния зависит только от r, то обычно элемент объема dV берут в виде сферического слоя радиуса r и толщиной dr. Как известно из геометрии, объем такого сферического слоя dV = 4πr²dr. Обозначим через dw₀ соответствующую вероятность, тогда

Эта функция равна нулю при r = 0 и r → ∞. При r = r₀ она имеет максимум, положение которого соответствует первой боровской орбите.

Рис. 8.4

 

Итоги лекции n 8

1. Формула (8.3) для энергии стационарных состояний атома водорода, полученная на основе уравнения Шредингера совпадает с аналогичной формулой (4.8), полученной в боровской теории атома водорода, т.е.:

       Здесь n называется главным квантовым числом.

2. Волновые функции ψ_nlm(r, θ, φ) стационарных состояний атома водорода определяются тремя квантовыми числами:

1) n - главное квантовое число, оно определяет энергию стационарных состояний;

2) l - азимутальное (или орбитальное) квантовое число, оно определяет момент импульса электрона (см. (8.4), (8.5)):

при заданном n квантовое число l  может принимать следующие значения

l = 0, 1, ...(n - 1).                                 

3)      m_l - магнитное квантовое число, оно определяет проекцию момента импульса  на  выбранное  направление  в  пространстве, скажем ось z (см. (8.6), (8.7):

при заданном l магнитное квантовое число m_е может принимать следующие значения:

3. Появление в шредингеровской теории атома водорода квантования момента импульса L и его проекции L_z  объясняет некоторые особенности спектров излучения и поглощения атома водорода, которые не могли быть объяснены теорией Бора.

4. Особенности спектров атома водорода связаны с тем, что фотон обладает собственным моментом импульса. Поэтому, вследствие закона сохранения момента импульса, момент импульса атома в процессах излучения и поглощения фотонов меняется. С наибольшей интенсивностью идут такие переходы, в которых выполняется следующее правило отбора для квантового числа l (см. (8.9)):

5. Шредингеровская теория атома водорода позволяет учесть влияние на энергетические уровни (а следовательно и на спектры излучения и поглощения) магнитного поля (эффект Зеемана) и электрического поля (эффект Штарка).

6. Шредингеровская теория атома водорода позволяет объяснить тонкую и сверхтонкую структуры спектров атома водорода на основе представления о собственном (спиновом) моменте импульса электрона.

ЛЕКЦИЯ N 9

Спин электрона. Принцип Паули. Физические основы периодической системы Д.И. Менделеева. Молекула. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов

§ 1. Спин электрона. Принцип Паули. Фермионы и бозоны.

 

Как уже упоминалось в конце § 3 предыдущей лекции, спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру. Тонкая структура присуща спектрам всех атомов. Для объяснения причин возникновения тонкой структуры американские физики Гаудсмит и Уленбек выдвинули в 1925 г. гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса - спином L_s, не связанным с движением электрона в пространстве. Модуль собственного момента импульса определяется спиновым квантовым числом s:

Для электрона   s = 1/2.

Проекция спина на ось z, L_sz, квантуется

здесь m_s - магнитное спиновое квантовое число. Для электрона

Квантовое состояние электрона в любом атоме задается четырьмя квантовыми числами:

главным n (n = 1, 2, 3...);

азимутальным l  (l = 0, 1, 2, ...n-1);

магнитным m_l (m_l = -l,... -1, 0, 1 ... +l);                                                  (9.4)

спиновым m_s (m_s = +1/2, -1/2).

О физическом смысле первых трех квантовых чисел сказано в § 2 предыдущей лекции, о последнем - только что.

Энергия состояния зависит главным образом от квантовых чисел n и l. Есть слабая зависимость энергии от m_l и m_s, т.к. эти квантовые числа определяют взаимодействие между орбитальным и спиновым магнитными моментами электрона. Это взаимодействие приводит к появлению тонкой структуры спектров.

Принцип Паули утверждает, что в квантовой системе две тождественные частицы с полуцелым спином не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии, т.е.

Этот принцип был сформулирован в 1925 г. швейцарским физиком В. Паули для электронов в атоме, а затем распространен на любые частицы с полуцелым спином - фермионы. К фермионам относятся электрон, протон, нейтрон.

Частицы с целым спином носят название бозонов. К бозонам относятся фотон (спин s = 1), мезон, составные частицы из четного числа фермионов, например,α -частица - ядро атома ⁴₂He. Бозоны могут находиться в одинаковом квантовом состоянии в неограниченном количестве.