- •Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов
- •Элементы квантовой механики
- •Квантовая теория свободных электронов в металле
- •Введение в теорию твердых тел
- •Основы физики лазеров
- •Элементы физики ядра и элементарных частиц
- •§ 1. Краткие исторические сведения
- •§ 2. Тепловое излучение
- •§ 3. Излучение абсолютно черного тела. Закон Кирхгофа.
- •Итоги лекции n 1
- •Лекция n 2 Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка. Закон Стефана-Больцмана, закон Вина § 1. Проблема излучения абсолютно черного тела. Формула Планка
- •§ 2. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина
- •Итоги лекции n 2
- •Лекция n 3 Проблема фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта § 1. Проблема фотоэффекта
- •§ 2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
- •Итоги лекции n 3
- •Лекция n 4 Боровская теория атома водорода Спектр излучения атома водорода в теории Бора § 1. Боровская теория атома водорода
- •Первый постулат Бора:
- •Второй постулат Бора:
- •§ 2. Спектры излучения атома водорода в теории Бора
- •Итоги лекции n 4
- •Корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов
- •Лекция n 5 Свойства фотонов. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности электромагнитной волны
- •§ 1. Свойства фотонов
- •2. Масса фотона
- •3. Энергия фотона
- •§ 2. Неделимость фотона
- •§ 3. Интерференция одиночных фотонов
- •§ 4. Вероятностная интерпретация плотности энергии и интенсивности электромагнитной волны
- •Итоги лекции n 5
- •§ 1. Гипотеза де Бройля. Волновые свойства электронов
- •Лекция n 6 § 2. Дифракция одиночных электронов
- •§ 3. Волновая функция и волна де Бройля
- •§ 4. Соотношения неопределенностей
- •Итоги лекции n 6
- •§ 2. Понятия об операторах физических величин
- •§ 3. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
- •§ 2. Квантовые числа
- •§ 3. Спектры атома водорода в теории Шредингера
- •§ 4. Волновая функция основного состояния атома водорода
- •Итоги лекции n 8
- •§ 2. Физические основы периодической системы элементов д. И. Менделеева
- •§ 3. Молекула
- •§ 4. Объяснение температурной зависимости теплоемкостей газов
- •Итоги лекции n 9
- •§ 1. Электронный газ в модели одномерной бесконечно глубокой ямы
- •§ 2. Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы
- •Итоги лекции n 10
- •Элементы квантовой статистики
- •Лекция n 11
- •§2. Анализ функции f(e)
- •Итоги лекции n 11
- •Лекция n 12 Результаты квантовой теории электропроводности. Термоэлектронная эмиссия. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна § 1. Результаты квантовой теории электропроводности металла
- •§ 2. Термоэлектронная эмиссия
- •§ 3. Бозоны. Распределение Бозе-Эйнштейна
- •Итоги лекции n 12
- •§ 2. Диэлектрики и полупроводники
- •§ 3. Собственная проводимость полупроводников
- •§ 2. Акцепторные примеси. Полупроводники p-типа
- •§ 3. Электронно-дырочный переход. Полупроводниковый диод
- •§ 4. Полупроводниковый триод - транзистор
- •Основы физики лазеров лекция n 15
- •§ 1. Вводные сведения
- •§ 2. Вынужденное (стимулированное) излучение
- •§ 3. Состояние с инверсией населенности
- •§ 4. Оптический резонатор
- •§ 5. Способы создания инверсии населенности
- •§ 6. Виды лазеров и их применение
- •§ 2. Дефект массы и энергия связи атомного ядра. Ядерные силы
- •§ 1. Некоторые сведения из истории открытия деления ядра урана
- •§ 2. Цепная ядерная реакция. Ядерная бомба
- •§ 3. Ядерный реактор
- •§ 4. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций
- •Итоги лекции n 17
- •§ 1. Радиоактивность. Историческое введение
- •§ 2. Закон радиоактивного распада
- •§ 3. Взаимодействие радиоактивного излучения с веществом
- •§ 4. Методы регистрации ионизирующих излучений
- •Итоги лекции n 18
§ 2. Понятия об операторах физических величин
Уравнение Шредингера для стационарных состояний (7.3) можно записать в следующем, операторном виде:
здесь - гамильтониан частицы, или оператор Гамильтона. Оператор Гамильтона получается из функции Гамильтона, которая есть сумма кинетической энергии частицы, выраженной через импульс, и ее потенциальной энергии, т.е.
Если в этом выражении импульс частицы p заменить на оператор импульса , то из функции Гамильтона получим оператор Гамильтона . Оператор импульса частицы в квантовой механике выглядят следующим образом:
следовательно гамильтониан для одной частицы будет иметь следующий вид:
Легко убедиться, что после подстановки полученного выражения дляв уравнение Шредингера в операторном виде мы получим уравнение Шредингера в виде (7.3).
§ 3. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев: свободная частица и частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
Для свободной частицы потенциальная энергия U ≡ 0. Уравнение Шредингера (7.3) в этом случае выглядит следующим образом:
Для частицы, движущейся вдоль оси х, волновая функция ψ = ψ(х) и уравнение еще упрощается:
Решением этого уравнения будет экспоненциальная функция:
проверить это легко прямой подстановкой. При этом для энергии E получаем, как и следовало ожидать,
здесь px = mv - импульс частицы.
Мы видим, что у свободной частицы энергия E и импульс px могут принимать любые значения, т.е. не квантуются.
Полную волновую функцию Ψ(x, t) получим, домножив ψ(x) на временной множитель (см. (28.1)):
Это есть не что иное, как уравнение волны де Бройля (6.2).
В случае бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямы шириной а потенциальная энергия:
Изобразим график U(x) (см. рис. 7.1). Если частица находится в яме, то ее координата х может изменяться от нуля до a. За пределы ямы частица выйти не может, т.к. там потенциальная энергия бесконечно велика (стенки ямы бесконечно высоки). Значит вероятность обнаружить частицу в любом месте за пределами ямы равна нулю (dw = 0).
Рис. 7.1
В одномерном случае из (6.3) получим:
Откуда следует, что за пределами ямы волновая функция ψ тождественно обращается в ноль.
Из условия непрерывности волновой функции следует, что внутри ямы она должна так зависеть от координаты х, чтобы обращаться в ноль на границах ямы. Значит граничные условия на волновую функцию ψ будут иметь следующий вид:
Внутри ямы U ≡ 0 и уравнение Шредингера будет иметь такой же вид, как и для свободной частицы (7.10):
или
Так как E = p2/2m, то для коэффициента при ψ имеем:
Откуда энергия частицы:
Здесь - волновое число.
В результате уравнение Шредингера примет вид хорошо известного нам дифференциального уравнения:
Решением этого уравнения, как известно, являются гармонические функции (синус или косинус) и мнимая экспонента. Здесь нам удобнее взять функцию "синус" с нулевой начальной фазой. Тогда ψ(x) - волновая функция частицы, будет иметь следующий вид:
Постоянная С будет найдена позднее из условия нормировки (7.14).
Т.к. sin 0 = 0, то граничное условие на левой границе (ψ(0) = 0) автоматически выполняется. Потребуем выполнения граничного условия на правой границе:
Это граничное условие будет выполнено, если
Значение целого числа n = 0 хотя и удовлетворяет граничному условию, но оно тождественно обращает волновую функцию в ноль (отсутствие частицы в яме!) и поэтому не годится.
Отрицательные значения n не приводят к появлению новых состояний: при изменении знака n меняется знак ψ, тогда как вероятность не меняется.
В результате мы получили, что вследствие граничных условий волновое число k может принимать лишь дискретные значения:
где квантовое число n принимает любые положительные целые значения, начиная с 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались при рассмотрении колебаний струны, закрепленной с двух концов (см. Ч. 3, лекция N 6, § 6).
С волновым числом k связана энергия частицы E (7.16). Следовательно, квантование волнового числа приводит к квантованию энергии частицы в потенциальной яме:
Подставляя сюда kn из (7.20), получим формулу для стационарных состояний энергии частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a:
Схема энергетических уровней частицы в яме выглядит следующим образом:
Рис. 7.2
Расстояния между соседними уровнями:
Оценим ΔEn для молекулы (m ~ 10-26 кг), находящейся в сосуде размером a ~ 0,lм.
Расстояния между уровнями в этом случае столь малы, что их дискретность совершенно несущественна. Ситуация меняется, если аналогичную оценку сделать для электрона (me = 9,1?·10-31 кг), локализованного в области порядка атомных размеров (a ~ 10-10 м).
В этом случае:
и дискретность уровней будет определять поведение частицы.
Условие нормировки (6.5) для нашей волновой функции (7.18) имеет следующий вид:
Интеграл равен a/2, значит
Подставляя константу C в волновую функцию (7.18) и учитывая условия квантования для волнового числа k (7.20), получим нормированные волновые функции для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме:
Каждая из этих волновых функций задает квантовое состояние частицы с квантовым числом n.
В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции (6.3) вероятность dwn обнаружить нашу частицу в интервале от x до x + dx, если она находится в квантовом состоянии ψn, дается следующим выражением:
Плотность вероятности обнаружения частицы:
Графики волновых функций первых двух квантовых состояний и соответствующие графики плотности вероятности приведены на рисунках 7.3а,б.
Рис. 7.3 а,б
Из графика плотности вероятности для состояния с n = 2 видно, что точно посередине ямы частица не может быть обнаружена, т.к. там ψ22 = 0. По классическим же представлениям частица должна была двигаться равномерно внутри ямы, отражаясь от ее стенок. Ясно, что при этом все положения частицы в яме равновероятные.
Итоги лекции N 7
-
Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. Э. Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера. Для одной частицы, Движущейся во внешнем поле, оно имеет следующий вид (см. (7.1)):
здесь - оператор Лапласа, в декартовой системе координат он имеет следующий вид:
U - потенциальная энергия частицы во внешнем поле, которая может зависеть и от времени;
- мнимая единица.
-
В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит от времени (т.е. U ≠ U(t)), то волновая функция может быть представлена в следующем виде (см. (7.2)):
здесь Е - полная энергия частицы в стационарном состоянии, ψ(x,y,z) - координатная волновая функция.
-
Для координатной волновой функции справедливо уравнение Шредингера для стационарных состояний (см. (7.3)):
-
Квадраты модулей полной Ψ и координатной y волновых функций совпадают:
таким образом, |ψ|2 в случае стационарных состояний определяет плотность вероятности обнаружения частицы.
-
Для свободой частицы U = 0 и решением уравнения Шредингера является уравнение волны де Бройля (см. (7.13)):
-
Для частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (см. рис. 7.1), из уравнения Шредингера вытекает следующая формула для энергии стационарных состояний (см. (7.21)):
здесь а - размер ямы; m - масса частицы, n - целое число, n = 1,2...
Таким образом, уравнение Шредингера предсказывает квантование энергии микрочастицы, движущейся в ограниченной области.
-
Волновая функция частицы, движущейся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме имеет следующий вид (см (7.22)):
.
ЛЕКЦИЯ N 8
Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа. Спектры атома водорода в теории Шредингера. Волновая функция основного состояния атома водорода
§ 1. Уравнение Шредингера для атома водорода
В лекции N 7 мы разобрали боровскую теорию атома водорода, основанную на постулатах Бора и условии стационарности состояний атома (4.3).
Уравнение Шредингера, примененное к атому водорода, позволяет получить результаты боровской теории атома водорода без привлечения постулатов Бора и условия квантования. Квантование энергии возникает как естественное условие, появляющееся при решении уравнения Шредингера, в некотором смысле аналогичное причине квантования энергии для частицы в потенциальной яме. Применить стационарное уравнение Шредингера (7.3) к атому водорода это значит:
а) подставить в это уравнение выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром
б) в качестве m подставить me - массу электрона (если пренебречь, как и в лекции N 4, движением ядра).
После этого получим уравнение Шредингера для атома водорода:
Так как потенциальная энергия зависит только от r, решение уравнения удобно искать в сферической системе координат: r, θ, φ.(рис. 8.1)
Рис. 8.1
Волновая функция в этом случае будет функцией от r, θ и φ, т.е.
Оператор Лапласа необходимо записать в сферических координатах, т.е. выразить через производные по r, θ и φ. Мы не будем этого делать, поскольку получение решения уравнения Шредингера для атома водорода не входит в программу курса общей физики. Приведем лишь результаты.
Оказывается, что решение уравнения Шредингера для атома водорода существует при следующих условиях:
а) при любых положительных значениях полной энергии (E > 0). Это так называемые несвязанные состояния электрона, когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность;
б) при дискретных отрицательных значениях энергии
Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода. Целое число n называют главным квантовым числом.