Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости

§ 11. Системы координат на плоскости

11.1. Прямоугольная и полярная системы координат

1. Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей (ось абсцисс), (ось ординат), пересекающихся в одной точке , называемой началом координат.

Возьмем произвольную точку плоскости и проведем через нее прямые, перпендикулярные осям координат.

Эти прямые пересекают оси координат соответственно в точках: , . Первой координатой точки , ее абсциссой, называется длина отрезка , взятая со знаком плюс, если отрезок направлен в ту же сторону, что и ось , и со знаком минус – если в противоположную. Аналогично, ординатой точки называется длина отрезка , взятая со знаком плюс или минус.

Оси координат разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называются четвертями.

Например, в первой четверти .

2. Полярная система координат определяется заданием масштабной единицы измерения длин, точкой , называемой полюсом, и лучом , называемым полярной осью.

Пусть задана полярная система координат и произвольная точка на плоскости. Полярными координатами точки называются числа и .

- расстояние от точки до полюса, называется полярным радиусом.

- угол, на который нужно повернуть полярную ось до совмещения с лучом , называется полярным углом.

Точка с полярными координатами обозначается: .

Пределы изменения полярных координат: , .

Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы больше , а также отрицательные углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Пример. Построить точку .

 1. Проведем из полюса луч под углом к полярной оси.

2. На этом луче отложим 4 единичных отрезка. Получим точку . 

11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами

Совместим прямоугольную и полярную системы координат так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось совпала с положительным направлением оси .

Пусть точка имеет прямоугольные координаты и полярные .

Тогда получим

	- формулы перехода от прямоугольных координат к полярным.
, ,		- формулы перехода от полярных координат к прямоугольным

Пример. Уравнение окружности в прямоугольной системе координат имеет вид . Записать уравнение в полярной системе координат.

 Перейдем к полярным координатам , .

Следовательно, - это уравнение данной окружности в полярной системе координат. 

11.3. Преобразование прямоугольных координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат. Рассмотрим два вида преобразований.

1. Параллельный перенос осей координат.

Под параллельным переносом понимают такое преобразование координат, при котором меняется положение осей координат, а направление и масштаб остаются неизменными.

Пусть - координаты произвольной точки в системе координат . Перенесем начало координат из точки в точку . Тогда в новой системе координат координаты точки будут:

.	- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым и наоборот.

2. Поворот осей координат.

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Повернем систему координат на угол . Пусть - произвольная точка плоскости. - координаты точки в системе координат ,

- координаты точки в системе координат.

Введем полярные координаты точки :

- координаты точки в системе координат ,

- координаты точки в системе координат .

По формулам перехода от прямоугольных координат к полярным имеем:

Но , .

Поэтому

- формулы, по которым можно найти новые координаты по известным старым.

Найдем значения и с помощью полученных формул. Для этого решим систему уравнений по формулам Крамера: ,

,

- формулы, по которым можно найти старые координаты по известным новым.

Пример. Определить координаты точки в новой системе координат , если начало координат перенесли в точку , а затем оси координат повернули на угол .

 Определим координаты точки

1) в системе координат :
2) в системе координат :

. Ответ: . 