§4. Обратная матрица

4.1. Основные понятия

Для каждого числа существует обратное ему число , причем .

Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной матрице , если выполняется равенство: .

Условием существования обратной матрицы является требование : .

Определение. Если , то матрица называется невырожденной; если , то матрица называется вырожденной.

4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

1. Находим : - если существует ;

- если не существует .

2. Находим транспонированную матрицу .

3. Находим присоединенную матрицу. Она состоит из алгебраических дополнений элементов матрицы .

Обозначение присоединенной матрицы: или , или , или .

4. Находим обратную матрицу: .

5. Делаем проверку: или .

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
 1)		существует .	2)	.
3)	.
4)	.
5)	Проверка: (выполнить самостоятельно).

4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

Элементарные преобразования матрицы.

1. Перестановка строк (столбцов).

2. Умножение строки (столбца) на число .

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число.

Чтобы найти матрицу, обратную данной, делаем следующее:

- для матрицы строим прямоугольную матрицу ,

приписывая справа единичную матрицу;

- с помощью элементарных преобразований приводим матрицу

к виду .

Тогда .

Эквивалентные матрицы обозначаются .

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .

~(первую строку матрицы умножили на ) ~~~~

Следовательно, .

Проверка: . 

§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными

5.1. Основные понятия

Системы m линейных уравнений с n переменными имеют вид:

( 1 )

где , - - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами.

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными (или эквивалентными) если они имеют одно и то же множество решений.

Равносильность систем не нарушается при следующих элементарных преобразованиях:

1. перемена местами уравнений;

2. умножение обеих частей уравнения на число ;

3. удаление из системы уравнения ;

4. прибавление к обеим частям какого - либо уравнения соответствующих частей другого уравнения этой же системы, предварительно умноженных на любое число.

Запишем матрицы:

, , .

- матрица системы, состоящая из коэффициентов при переменных,

- матрица-столбец переменных,

- матрица- столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение есть матрица-столбец:

.

Элементами полученной матрицы являются левые части уравнений системы (1).

На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в следующем виде:

- это матричный вид системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей.

- расширенная матрица системы (1)