2. Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение имеет вид ,

где и - это параметры параболоида, ; ,

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение параболы, симметричной относительно оси .

2) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение параболы,

симметричной относительно оси .

3) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными

плоскости .

а) Решаем систему уравнений

- это уравнение гиперболы, у которой

- действительная полуось, а - мнимая полуось.

б) Решаем систему уравнений

( знак левой части изменился, так как по условию)

- это уравнение гиперболы, у которой - действительная полуось, а - мнимая полуось.

4) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение двух прямых, проходящих через точку .

Гиперболический параболоид – это поверхность, имеющая вид седла.

17.6. Конус второго порядка

Каноническое уравнение имеет вид

Строим методом сечений.

1) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение точки .

2) Находим линии пересечения с плоскостями параллельными .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса

с полуосями и .

3) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение двух прямых, проходящих через начало координат.

4) Находим линию пересечения с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение двух прямых, проходящих через начало координат.

17.7. Цилиндрические поверхности

Задаются уравнениями:

; образующая параллельна оси ;

; образующая параллельна оси ;

; образующая параллельна оси ;

1. Эллиптический цилиндр

направляющая - эллипс,

образующая параллельна оси

2. Параболический цилиндр

направляющая - парабола,

образующая параллельна оси

3. Гиперболический цилиндр

направляющая - гипербола,

образующая параллельна оси .

Пример 1. Построить поверхность

заданную .

 Из уравнения следует, что . Возведем обе части уравнения в квадрат полусфера, ,

с центром в точке . 

Пример 2. Построить тело, ограниченное поверхностями

.

 Определим вид поверхностей.

- параболический цилиндр ;

- плоскость;

- координатные плоскости. 

Литература

1. Шипачев В.С. Основы высшей математики [Текст]: Учебное пособие / В.С.Шипачев, 2002. - 479с.

2. Ильин В.А. Аналитическая геометрия [Текст]: Учебник / В.А.Ильин, Э.Г. Позняк, 2002. - 240с.

3. Зимина О.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст]: Учебный комплекс: Учебное пособие / О.В.Зимина; Под ред. А.И.Кириллова, 2000. – 328с.

4. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч [Текст]: Учебное пособие для втузов. Ч.1 / Ред. А.В.Ефимов, Ред. А.С.Поспелов, 2003. – 288с.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: Учебное пособие в 2-х ч. Ч.2 / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова, 2005. – 404с.

6. Руководство к решению задач по высшей математике [Текст]: Учебное пособие в 2-х ч. Ч.1 /Е.И.Гурский, В.П.Домашов, В.К.Кравцов, А.П.Сильванович; Под общ. Ред. Е.И.Гурского, 1989. – 349 с.

58