3. Возведение в степень. Транспонирование матрицы

1. Возведение в степень возможно только для квадратных матриц.

.

Например, .

Свойства:

1)

2)

3)

4)

2. Транспонирование матрицы – это переход от матрицы к матрице , при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.

Если , то .

Например, .

Свойства:

1)

2)

3)

§3. Определители

3.1. Основные понятия

Квадратной матрице - го порядка соответствует число, называемое определителем (или детерминантом).

Обозначается определитель: ; или .

Если = 1 , то			- определитель 1-го порядка.
Если = 2 , то			- определитель 2-го порядка.

Схема вычисления:

Например, .

Если = 3 , то

- определитель 3-го порядка.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса).

Схема вычисления:

Например,

3.2. Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

.

Будем называть строки и столбцы рядами определителя.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно выносить за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на любое число :

.

Определение. Минором некоторого элемента определителя - го порядка называется определитель (- 1) – го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Обозначается: .

Если , то .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на .

Обозначается: .

7. (Разложение определителя по элементам некоторого ряда).

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения:

.

Например,

Определители высоких порядков вычисляем, применяя свойство 7. При вычислении определителей третьего и более высокого порядка удобно пользоваться свойством 6. Покажем на примере вычисления определителя третьего порядка.

Первую строку заменили суммой ее со второй, предварительно умноженной на число 2.