- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
Глава I. Элементы линейной алгебры
§ 1. Матрицы. Виды матриц
Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, а для обозначения элементов матрицы используются, соответственно, строчные буквы с двойными индексами: , где i – номер строки, j – номер столбца.
Записывают матрицу так |
или в сокращенном виде: , где ,
( i принимает значения от 1 до ; j принимает значения от 1 до ).
Например, .
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения: .
Определение. Матрицы одного размера называются равными, если их элементы совпадают, т.е. , для любых , .
Виды матриц.
1. Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей (вектором) - строкой: .
2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)- столбцом: |
. |
3. Матрица, содержащая одну строку и один столбец, отождествляется с числом. - есть число . - есть число .
4. Матрица называется квадратной - го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
- квадратная матрица 3-го порядка.
Определение. Элементы матрицы , у которых номер строки равен номеру столбца , называются диагональными элементами и образуют главную диагональ матрицы.
5. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Например, - диагональная матрица 3-го порядка.
6. Диагональная матрица - го порядка, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной матрицей - го порядка.
Она обозначается буквой Е.
Например, - единичная матрица 3-го порядка.
7. Матрица любого порядка, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Она обозначается буквой О.
Например, - нулевая матрица.
Матрицы Е и О играют ту же роль, что и числа 1 и 0 в арифметике.
§ 2. Действия над матрицами
-
Умножение на число. Сложение и вычитание
1. Умножение матрицы на число возможно для матриц любого размера.
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой для , .
Например, .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
В частном случае число 0 , умноженное на , есть нулевая матрица, т.е. .
2. Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера.
Определение. Суммой матриц и называется матрица , каждый элемент которой для , . (т.е. матрицы складываются поэлементно).
В частном случае .
Например,
.
3. Вычитание матриц можно выполнить с помощью двух предыдущих операций, т.е.
.
-
Умножение матриц
Умножение матрицы на матрицу возможно, когда число столбцов первой матрицы () равно числу строк второй матрицы ().
В результате получается матрица, число строк которой равно числу строк матрицы ; а число столбцов равно числу столбцов матрицы .
Схема:
Определение. Произведением матриц и называется матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов - й строки первой матрицы () на соответствующие элементы - го столбца второй матрицы ().
Схема вычисления:
Например,.
.
В частном случае .
Многие свойства операций над числами выполняются и для операций над матрицами:
1) +=+ |
6) |
2) +(+)=(+)+ |
7) |
3) |
8) |
4) |
9) |
5) |
|
Однако некоторые свойства произведения чисел не выполняются для произведения матриц:
- произведение не всегда равно ;
(если , то матрицы называются перестановочными).
- произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице: .