§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.

Пусть плоскость задана общим уравнением , а прямая задана каноническими уравнениями .

1.
	-
	условие параллельности прямой и плоскости
2.
	-
	условие перпендикулярности прямой и плоскости

3.	Пусть векторы и выходят из точки
	Следовательно,

4. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью .

Для этого решим систему уравнений .

Запишем уравнения прямой в параметрическом виде ,

Подставляя выражения для в уравнение плоскости, получим уравнение или

.

Если , то получим единственное значение .

Подставляя в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью .

Если		то точки пересечения нет, .
Если		то прямая и плоскость имеют бесконечно много общих точек
-		условие, при котором прямая принадлежит плоскости

Пример. Найти точку , симметричную точке , относительно плоскости .

 1) Напишем уравнения прямой , проходящей через точку , параллельной вектору .

.

2) Найдем точку - точку пересечения прямой с плоскостью.

Решим систему уравнений ,

Запишем параметрические уравнения прямой .

Подставим в первое уравнение системы , получим уравнение

или ; ; ,

т.е. - координаты точки .

3) Так как точка - середина отрезка , то

. Аналогично, , .

Таким образом, - искомая точка. 

§ 17. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

По заданному уравнению поверхности будем определять ее внешний вид методом сечений, т.е. будем находить линии пересечения поверхности с координатными плоскостями или с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

17.1. Эллипсоид.

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

1) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

2) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

-

это уравнение эллипса

с полуосями и .

3) Находим линию пересечения эллипсоида с плоскостью .

Решаем систему уравнений

- это уравнение эллипса с полуосями и .

Эллипсоид – это замкнутая овальная поверхность. , , - полуоси эллипсоида.

Если , то эллипсоид превращается в сферу.