- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Положение прямой на плоскости определяется ординатой точки (точки пересечения прямой с осью ) и углом (угол между прямой и осью ).
Возьмем на прямой произвольную точку . Через точку проведем отрезок , параллельный оси .
Тогда .
Обозначим - угловой коэффициент прямой.
Получим |
или |
(9) – уравнение прямой с угловым коэффициентом |
Если прямая проходит через точку и известен угловой коэффициент , то
(10) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении |
12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямые и заданы общими уравнениями и уравнениями с угловыми коэффициентами.
|
|
|
|
1.
|
|
2.
|
|
3.
|
(- угловой коэффициент прямой, которую поворачиваем ) |
Расстояние от точки до прямой находим по формуле
Пример. Найти расстояние от точки до прямой .
Расстояние от точки до прямой равно:
§ 13. Линии второго порядка на плоскости
13.1. Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
, где .
Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .
, , и - точки пересечения эллипса с осями симметрии
(координатными осями) называются вершинами эллипса.
Отрезки и называются осями эллипса, причем - большая ось, а - малая ось, так как .
Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями эллипса, а называется фокусным расстоянием эллипса.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что .
Прямые называются директрисами эллипса .
Пусть точка - произвольная точка эллипса.
Длины отрезков и называются фокальными радиусами .
и
Если фокусы эллипса лежат на оси , то большей осью будет отрезок ,
а малой осью отрезок .
Тогда , а директрисами являются прямые .
Если , то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением
.
Уравнение определяет вырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку .
Уравнение определяет мнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.
Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид: