§ 12. Прямая на плоскости

12.1. Общее уравнение прямой на плоскости

Пусть в системе координат задана прямая , проходящая через точку , и задан вектор , перпендикулярный прямой .

Произвольная точка будет лежать на прямой , тогда и только тогда, когда , .

Из условия перпендикулярности векторов следует, что

(1) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.

Преобразуем уравнение (1):

(2) – общее уравнение прямой.

Вектор называется нормальным вектором прямой .

12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях

Пусть прямая задана общим уравнением .

Если , то прямая проходит через начало координат;

, то ;

, то ;

Если , то - это ось ;

, то - это ось ;

Если .

можно преобразовать к виду ,

, обозначим

Получим

(3) – уравнение прямой в отрезках на осях,

где и - точки пересечения с осями координат.

Уравнение (3) используется при построении прямой в системе координат .

Пример 1. Построить прямую .

 Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях

. 

Пример 2. Построить прямую .

 Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях

, , . 

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.

а) Пусть прямая задана общим уравнением , а прямая параллельна прямой

и проходит через точку .

Составим уравнение прямой .

Произвольная точка будет лежать на прямой , если , .

Из условия перпендикулярности векторов получим уравнение прямой .

(4) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

б) Пусть прямая задана общим уравнением , а прямая перпендикулярна прямой и проходит через точку . Составим уравнение прямой . Произвольная точка будет принадлежать прямой , если , .

Из условия параллельности векторов получаем уравнение прямой .

(5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой

3. Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.

1. Пусть точки и лежат на прямой . Произвольная точка будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда ,

, .

Из условия параллельности векторов получим уравнение.

(6) – уравнение прямой, проходящей через две точки

2. Пусть в уравнении (6) , , .

Тогда получим

(7) – каноническое уравнение прямой

3. Пусть в каноническом уравнении ,

где - параметр, .

Тогда

(8) – параметрические уравнения прямой