13.2. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

Гипербола имеет две оси симметрии (оси координат), с одной из которых она пересекается в точках , , называемых вершинами гиперболы.

Отрезок - действительная ось, - мнимая ось.

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями гиперболы, а называется фокусным расстоянием гиперболы.

Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.

Диагонали этого прямоугольника называются асимптотами гиперболы.

Уравнения асимптот имеют вид:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами гиперболы .

Пусть точка - произвольная точка гиперболы.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

и

Если гипербола расположена так, что ее фокусы лежат на оси , то действительной осью будет отрезок , а мнимой осью - отрезок и уравнение ее имеет вид

Тогда и директрисами являются прямые , а асимптоты будут те же , что и у гиперболы (1).

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными.

Если , то гипербола называется равносторонней.

Простейшие уравнения равносторонней гиперболы имеют вид:

, .

Если центр гиперболы находится в точке и оси параллельны осям координат, то уравнение ее имеет вид:

или .

13.3. Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой.

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.

Расположим систему координат следующим образом: за одну из координатных осей примем ось параболы, а за другую – прямую, перпендикулярную оси и проведенную посередине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнения параболы будут иметь вид:

Пусть вершина параболы находится в точке , тогда ее уравнения имеют вид:

если ось параболы параллельна оси , то ;

если ось параболы параллельна оси , то .

Пример. Построить параболу . Записать координаты фокуса и уравнения директрисы.

 Из канонического уравнения параболы определим:

1) .

2) Ось параболы -, вершина - точка , фокус -, директриса - прямая .

3) Из определения параболы следует, что параболе принадлежат точки, которые лежат на прямой, параллельной директрисе, на расстоянии от фокуса. 