14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны точки , , принадлежащие плоскости .

Точка - произвольная точка плоскости .

Построим векторы: ,

,

.

Так как точки лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.

(4)	- уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

 Используем уравнение (4):

. 

14.4. Нормальное уравнение плоскости

1. Пусть в системе координат задана плоскость .

Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости .

Будем называть ее нормалью.

Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим . Построим вектор , длину которого обозначим .

Введем единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора .

Пусть - углы, которые составляет вектор с осями координат. Так как , то .

2. Выведем уравнение плоскости , считая известными числа и .

Пусть - произвольная точка. Она лежит в плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на нормаль равна . Таким образом,

(5)	- нормальное уравнение плоскости

3. Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду.

	- общее уравнение. (1)
	- нормальное уравнение. (2)

Так как то, умножая, коэффициенты уравнения (1) на некоторый множитель , получим уравнение , совпадающее с уравнением (2), т. е

.

Возведем первые три из равенств в квадрат и почленно сложим:

- нормирующий множитель.

Знак его противоположен знаку в общем уравнении, т. к. .

Пример. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

 ,

- это и есть нормальное уравнение плоскости .

14.5. Пучок плоскостей

Пусть плоскости и пересекаются по прямой a.

Определение. Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей.

Уравнение пучка плоскостей: .

Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.

Пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей и , и через точку .

 Запишем уравнение пучка плоскостей:

.

Значение определяем из условия, что плоскость проходит через точку : , или .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

или . 

14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости

1. Пусть даны плоскости:

, где ,

, где .

1. Если

- условие параллельности

плоскостей.

2. Если

- условие

перпендикулярности

плоскостей.

3. Если , то

-

2. Расстояние от точки до плоскости

находим по формуле: