-
Однополостный гиперболоид.
Каноническое
уравнение имеет вид
Строим методом сечений.
1) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему
уравнений
- это уравнение
эллипса с полуосями
и
.
2) Находим линии
пересечения с плоскостями, параллельными
плоскости
:
Решаем систему уравнений
- это уравнение
эллипса с полуосями
и
.
3) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему
уравнений
-
это уравнение гиперболы,
где
- действительная полуось, а
-
мнимая полуось.
4) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему уравнений
-
это уравнение гиперболы.
-
действительная полуось, а
- мнимая полуось.
Однополостный
гиперболоид
– это бесконечная труба, которая
бесконечно расширяется по мере удаления
от плоскости
.
,
,
- это полуоси гиперболоида. Полуось
увидим, если построим основной
прямоугольник какой-либо из гипербол.
-
Двуполостный гиперболоид.
Каноническое
уравнение имеет вид
.
1) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему уравнений
|
|
- это уравнение мнимого эллипса. |
Следовательно, с
плоскостью
нет общих точек.
2) Находим линии
пересечения с плоскостями, параллельными
плоскости
:
а) Решаем систему
уравнений
- это уравнение мнимого эллипса, так
как
.
б) Решаем систему уравнений
.
Получим точки
и
.
в) Решаем систему уравнений
;
- это уравнение
эллипса, с полуосями
и
.
2) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему
уравнений
- это уравнение гиперболы,
где
-действительная полуось,
а
-
мнимая полуось.
3) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему уравнений
-
это уравнение гиперболы,
где
-
действительная полуось, а
- мнимая полуось.
Двуполостный
гиперболоид
- это две чаши с вершинами в точках
и
,
которые бесконечно расширяются по мере
удаления от плоскости
.
,
и
-
полуоси гиперболы. Полуоси
и
увидим, если построим основные
прямоугольники обеих гипербол.
-
Эллиптический параболоид.
Каноническое
уравнение имеет вид
,
где
и
это параметры параболоида,
;
,
Строим методом сечений.
1) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему уравнений
- это уравнение
точки
.
2
)
Находим линии пересечения с плоскостями,
параллельными
плоскости
.
Решаем систему уравнений
-
это уравнение эллипса с полуосями
и
.
При
получим уравнение мнимого эллипса.
3) Находим линию
пересечения с плоскостью
.
Решаем систему уравнений
- это
уравнение параболы симметричной
относительно оси
.
4) Аналогично найдем
линию пересечения с плоскостью
.
Это будет парабола
симметричная относительно оси
.
Если
,
то получаем параболоид
вращения.