§ 15. Прямая в пространстве.

15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой

1. Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей.

(1) - общие уравнения прямой .

2. Пусть заданы прямая , точка и вектор .

Произвольная точка лежит на прямой , если

(2) – канонические уравнения прямой .

3десь: - текущие координаты, - координаты точки , - координаты вектора .

3. Пусть , где - параметр, .

Тогда,				(3) – параметрические уравнения прямой .

15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Пусть точки и лежат на прямой . Произвольная точка также принадлежит прямой , если векторы и будут параллельны. Из условия параллельности векторов получаем

(4)	– уравнения прямой, проходящей через две точки

Пример 1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

 Воспользуемся уравнением (4) -канонические уравнения искомой прямой, где . 

Пример 2. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

.

 1 способ.

1) Найдем точку , принадлежащую прямой .

Предположим, что и решим систему

, .

2) Найдем вектор , параллельный прямой . Так как он должен быть перпендикулярен векторам и , то за можно принять векторное произведение векторов и .

, где .

Искомая прямая определяется уравнениями . 

 2 способ. Найдем две точки и искомой прямой.

Предположим, что и решим систему

, .

( см. 1 способ решения).

Записываем уравнения прямой , проходящей через точки и

. 

15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

	,
	.

1.		-
		условие параллельности прямых
2.
		-
		условие перпендикулярности прямых
3.

4. Пусть , , , ,

.

Прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , , компланарны,

т.е. .

Следовательно, это условие, при котором и лежат в одной плоскости.