1.4. Преобразование Галилея

(А)

1. По реке плывет весельная лодка, а рядом с ней плот. Что легче для гребца: перегнать плот на 10 м или же на 10 м отстать от него?

2. Проплывая на лодке под мостом А, рассеянный человек уронил в реку шляпу, но, не заметив этого, продолжал грести против течения. Через 15 минут, обнаружив пропажу, он развернул лодку и, гребя в том же темпе, догнал шляпу под мостом В, удаленном от моста А на 1 км. Какова скорость течения реки?

3. Два катера идут по реке в одну сторону с различными скоростями. В тот момент, когда они поравнялись, с каждого был брошен в воду спасательный круг. Спустя четверть часа катера повернули обратно и с прежними скоростями направились к брошенным в воду кругам. Который из них дойдет до круга раньше: движущийся с большей или меньшей скоростью.

4. Самолет, скорость которого относительно воздуха равна 200 км/ч, летит на север. Внезапно начинает дуть северо-восточный ветер со скоростью 100 км/ч относительно земли. Какова будет результирующая скорость самолета относительно земли?

5. Пролетая над пунктом А, пилот вертолета догнал воздушный шар, который сносило ветром по курсу вертолета. Через полчаса пилот повернул назад и встретил воздушный шар на расстоянии 30 км от пункта А. Какова скорость ветра, если двигатель вертолета работал, не меняя мощности?

6. Можно ли применять паруса и руль для управления полетом воздушного шара?

7. Будет ли слушаться руля легкая лодка, свободно несущаяся по течению реки?

8. По гладкому горизонтальному столу со скоростью v₁ движется лист закопченного стекла. Какой формы след оставит на стекле шарик, брошенный по поверхности листа со скоростью v₂ перпендикулярно направлению движения листа?

9. Доказать, что при свободном движении тел вблизи поверхности Земли их относительная скорость постоянна.

(B)

10. Капли дождя из-за сопротивления воздуха падают с постоянной скоростью v, перпендикулярной поверхности земли. Как необходимо расположить цилиндрическое ведро, находящееся на движущейся горизонтально со скоростью u платформе, чтобы капли не попадали на стенки?

11. Начальные положения и векторы скоростей двух кораблей заданы на рисунке. Корабли движутся без ускорения. Как найти наименьшее расстояние между ними? (Рис. 18)

12. Одна из частиц пылевого облака (частица A) покоится, а все остальные разлетаются от нее в разные стороны со скоростями, пропорциональными расстояниям от частицы A. Какую картину движения обнаружит наблюдатель, движущийся вместе с частицей B?

13. С угла A квадратного плота спрыгнул пёс и плывёт вокруг плота в направлении, указанном короткой стрелкой. Нарисуйте траекторию движения пса относительно берега, если скорость пса относительно воды составляет 4/3 скорости течения. (Рис. 19)

Рис.18 Рис.20

Рис.19

14. Буер представляет собой парусные сани. Он может двигаться лишь по линии, по которой направлены коньки. Ветер дует со скоростью v, перпендикулярной его движению. Парус же составляет угол 30⁰ с направлением движения. Определите максимально возможную скорость буера.

15. При упругом ударе тела о неподвижную стенку скорость v меняется лишь по направлению. Определите, на какую величину изменится после удара скорость этого тела, если стенка движется: а) со скоростью u навстречу телу; б) со скоростью w < v в направлении движения тела.

16. Тело налетает на стенку со скоростью v под углом к ее нормали. Определите модуль скорости тела после упругого удара о стенку, если: а) стенка неподвижна; б) движется со скоростью w по своей нормали навстречу телу; в) движется со скоростью w под углом к своей нормали навстречу телу.

(С)

17. Какой будет длительность рейса самолёта из Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если в течение всего полёта дует ветер под углом к трассе со скоростью u? Скорость самолёта относительно воздуха v, длина трассы L. При каком направлении ветра длительность рейса максимальна?

17. Внутри сферы радиуса R, движущейся со скоростью u, находится шарик радиуса r, который в момент, когда он проходил через центр сферы, имел скорость v (u перпендикулярна v). Масса сферы много больше массы шарика. Определите, с какой частотой шарик ударяется о стенку сферы, если считать удар абсолютно упругим.

18. Тело влетает горизонтально со скоростью v в пространство между двумя вертикальными плоскостями, которые движутся со скоростью u. Определите скорость тела после n-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками L. Удары абсолютно упругие. (Рис. 20)

19. Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимально возможный угол между вектором скорости одного из осколков и вектором скорости v, если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость u < v.

20. Идёт “вертикальный” дождь. Скорость капель u. По асфальту со скоростью v скользит мяч. Во сколько раз на него попадает больше капель за секунду, чем на такой же неподвижный мяч? Изменится ли ответ, если мяч не круглый?

21. Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет её переплыть так, чтобы его снесло вниз по течению как можно меньше. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесёт, если ширина реки 200 м?