- •Механика: три уровня сложности сборник задач по физике
- •Часть I
- •Часть 1. Механика 4
- •Глава 1. Кинематика 4
- •Глава 2. Динамика 23
- •Часть 1. Механика Глава 1. Кинематика
- •1.1. Движение с постоянной скоростью
- •1.2. Движение с переменной скоростью
- •1.3. Движение в поле тяжести. Криволинейное движение
- •1.4. Преобразование Галилея
- •1.5. Движение со связями
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона
- •2.2 Импульс. Центр масс
- •2.3 Pабота. Кинетическая энергия системы. Потенциальная энергия.
- •2.4 Энергия системы. Передача энергии. Мощность
- •2.5 Столкновения
- •2.6 Сила тяготения. Законы Кеплера
- •2.7 Вращение твердого тела
- •2.8. Статика
- •Ответы Глава 1. Кинематика
- •1.1. Движение с постоянной скоростью
- •1.2. Движение с переменной скоростью
- •1.3. Движение в поле тяжести. Криволинейное движение
- •1.4. Преобразование Галилея
- •1.5. Движение со связями
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона
- •2.2. Импульс. Центр масс
- •2.3. Pабота. Кинетическая энергия системы. Потенциальная энергия.
- •2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность
- •2.5. Столкновения
- •2.6. Сила тяготения. Законы Кепплера.
- •2.7. Вращение твёрдого тела
- •2.8. Статика
- •Приложение Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в нгу (1988-2001гг.)
- •Ответы:
- •Задачи оценки
- •Объяснить явление
2.7 Вращение твердого тела
(A)
-
Найти кинетическую энергию точечной массы m, движущейся по окружности радиуса R с угловой скоростью .
-
Найти кинетическую энергию гантели (две точечные массы m на концах невесомого жесткого стержня длины 2R), вращающейся с угловой скоростью относительно оси, проходящей через центр гантели перпендикулярно стержню.
-
Найти кинетическую энергию тонкостенного цилиндра радиуса R массы m, раскрученного до угловой скорости .
-
Найти момент инерции J гантели, представляющей собой точечные массы m, M на концах невесомого стержня. Ось вращения перпендикулярна стержню и находится на расстоянии r, R от масс.
-
Обруч массы M радиуса r может без трения вращаться вокруг закрепленной оси. На обруч намотана невесомая нить длины l. С какой угловой скоростью будет вращаться обруч после вытягивания всей нити, если к концу нити приложена сила F? Рассмотреть также раскручивание а) диска, б) произвольного тела вращения с моментом инерции J, в)* вытягивание массивной нити. Масса нити m.
-
На ворот колодца, представляющий из себя бревно массы M и радиуса R намотана цепь длины l и массы m. К цепи привязано ведро массы . Ведро отпускают. Найти скорость ведра в момент, когда раскрутится вся цепь.
-
Центру обруча массы m и радиуса r сообщили скорость v вдоль наклонной плоскости с углом . Найти максимальную высоту подъема обруча и скорость его центра внизу, если обруч движется вверх без трения, а вниз без проскальзывания.
(B)
-
Круглый барабан массы m, радиуса r, с моментом инерции J насажен на неподвижную горизонтальную ось, проходящую через центр барабана. На барабан намотана невесомая нить, к свободному концу которой привязан груз массы M. С каким ускорением будет опускаться груз, если его отпустить? Трения в оси нет, нить не проскальзывает. Определить ускорения а) тонкостенного цилиндра, б) сплошного цилиндра.
-
Найти угловое ускорение блока радиуса R с моментом инерции J и линейные ускорения a, A масс m и M, закрепленных на концах нити, перекинутой через блок. Нить не проскальзывает по блоку. Трения в оси нет.
-
Найти ускорение, с которым будет скатываться без проскальзывания по наклонной плоскости с углом тело вращения с моментом инерции J. Масса тела m, радиус r. Рассмотреть скатывание а) обруча, б) диска, в) шара.
-
Тело вращения радиуса r с моментом инерции J раскрутили до угловой скорости и поставили в угол (Рис.69 ). Коэффициент трения между гранями угла и поверхностью тела равен . Сколько оборотов совершит тело до остановки? Рассмотреть остановку а) тонкостенного цилиндра, б) сплошного цилиндра, с) однородного шара.
-
Брусок массы M может двигаться по гладкому горизонтальному столу. На бруске укреплен тонкостенный обруч массы m радиуса r с намотанной на него невесомой тонкой нитью. К концу нити приложена горизонтальная сила F. Найти ускорение бруска и угловое ускорение обруча. Трения в оси нет, нить не проскальзывает по обручу. (Рис.70)
-
Тонкостенный цилиндр массы M радиуса r катится без проскальзывания с ускорением a по горизонтальной плоскости. На внутренней поверхности цилиндра скользит частица массы m, так, что угол ее отклонения от вертикали постоянен. Найти коэффициент трения между цилиндром и частицей (Рис.71). Какую силу нужно приложить к центру цилиндра, чтобы он катился с заданным ускорением?
-
На правом краю, лежащей на горизонтальной плоскости доски длины L и массы M, находится сплошной цилиндр массы m и радиуса r. К доске приложена вправо горизонтальная сила F (Рис.72). Найти угловую скорость цилиндра в момент его скатывания с левого края доски. Коэффициент трения между доской и цилиндром , трения меду доской и плоскостью нет.
-
Гантель с массами m и M на концах невесомого стержня длины l вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через центр гантели (Рис.73). Найти угол, который образует стержень с осью вращения. Какой момент силы действует на ось вращения?
-
На покоящемся однородном горизонтальном диске массы M, радиуса R находится человек массы m. Диск может вращаться без трения вокруг вертикальной оси. Человек начал двигаться. Найти угловую скорость вращения диска, если человек движется со скоростью v по окружности радиуса r с центром в оси диска.
-
На краю свободно вращающейся с угловой скоростью вокруг вертикальной оси карусели радиуса R с моментом инерции J находится человек массы m. Как изменится угловая скорость вращения карусели, если человек перейдет от края карусели к центру? Найти изменение энергии системы. Трения в оси вращения карусели нет. Размеры человека малы, по сравнению с радиусом карусели.
-
На n спиц колеса радиуса R надеты частицы массы m каждая. Частицы соединены с осью колеса пружинами жесткости k. Длина пружины в нерастянутом состоянии l. Колесо раскрутили так, что частицы достигли обода. Найти угловую скорость колеса и момент импульса системы, если масса обода колеса M, а масса спицы m.
-
Два диска с моментами инерции j и J, первоначально вращавшиеся с угловыми скоростями и вокруг единой оси, приведены в соприкосновение друг с другом (Рис.74). Найти угловую скорость дисков после прекращения проскальзывания. Сколько тепла выделится?
-
Шар катится без проскальзывания со скоростью v по горизонтальной плоскости и въезжает на наклонную плоскость с углом . На какую высоту поднимется шар если а) проскальзывания нет, б) трения нет?
-
Тонкостенный цилиндр массы m радиуса r, скатившись без проскальзывания по наклонной плоскости с высоты h по горизонтальной поверхности движется, наматывая на себя тонкую липкую ленту массы M, длины l. Найти скорость цилиндра, когда вся лента будет намотана.
-
В установке, находящейся на полюсе Земли, точечные массы удерживаются с помощью нити на расстояниях R от вертикальной оси. Нить пережигают. Массы опускаются и оказываются на расстоянии r = 0.1R от оси (Рис.75). С какой угловой скоростью n (оборотов/час) вращается после этого установка, если вначале она не вращалась относительно Земли? Трения нет.
(С)
-
Автомобиль массы m с очень мощным двигателем стартует по горизонтальной дороге с коэффициентом трения . Найти ускорение автомобиля. Рассмотреть случаи: а) ведущие передние колеса, b) ведущие задние колеса. Центр масс автомобиля находится на высоте h над дорогой посередине расстояния между колесами l.
-
На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две нити. К концам нитей привязаны массы m и M. Найти ускорения масс и натяжения нитей, если радиусы цилиндров блока r и R, момент инерции блока J. Нити не проскальзывают по блоку, трения нет. (Рис.76)
-
Плоское осесимметричное тело радиуса R, массы m с моментом инерции J раскрутили до угловой скорости 0 и поставили на вертикально на шероховатую горизонтальную плоскость. Найти зависимость линейной скорости оси тела от времени v(t) и угловой скорости (t), если коэффициент трения тела о плоскость . Через какое время прекратиться проскальзывание, какая доля начальной энергии перейдет в тепло? Рассмотреть движение а) тонкостенного обруча, b) однородного диска, c) шара.
-
Невесомый жесткий стержень с закрепленными на концах массами m и M кладется горизонтально на опору посередине. Найти силу давления стержня на опору в начальный момент.
-
Однородное бревно массы m лежит горизонтально, опираясь на две опоры на концах. Одну из опор внезапно убрали. Во сколько раз изменится сила давления на оставшуюся опору в первый момент.
-
Карандаш длины l установлен вертикально на горизонтальной плоскости. Найти скорость верхнего конца карандаша в момент удара о плоскость если а) трения нет, б) нет проскальзывания.
-
С какой силой действует падающая из вертикального положения гантелька на гладкую горизонтальную плоскость в момент, когда ось гантельки составляет угол с горизонтом? Гантелька состоит из двух частиц массы m, соединенных жестким невесомым стержнем длины l.
-
Сплошной цилиндр радиуса r и массы m скатывается без проскальзывания в цилиндрическую выемку радиуса R в подставке массы M, стоящей на гладком горизонтальном столе. Оси цилиндра и выемки параллельны. Найти скорость цилиндра в нижней точке выемки и силу, с которой он действует подставку в этой точке.(Рис.77)
-
Три одинаковых цилиндра, вращавшихся с равными угловыми скоростями приведены в соприкосновение так, что их оси параллельны (Рис.78). Найти установившуюся угловую скорость цилиндров и долю энергии перешедшей в тепло. Левый и правый цилиндры прижаты к центральному с одинаковыми силами.
-
Четыре одинаковых цилиндра расположены так, что их оси параллельны и в поперечном сечении проходят через вершины квадрата. Один из цилиндров раскрутили до некоторой угловой скорости относительно оси и все цилиндры привели в соприкосновение между собой (Рис.79). Какая часть энергии перейдет в тепло? Все цилиндры прижаты друг к другу с одинаковыми силами.
-
На упругую стенку со скоростью v под углом относительно нормали налетает шарик радиуса r. До соударения шарик не вращался. Найти измененние поперечного импульса шарика. Под каким углом и с какой угловой скоростью отразится шарик, если коэффициент трения между ним и стенкой k?
-
Два одинаковых тонких вращающихся кольца движутся по гладкой горизонтальной плоскости навстречу друг другу со скоростями v и V, направленными по прямой, соединяющей центры колец. Начальные угловые скорости колец и . Найти угловую скорость колец после соударения, если проскальзывание колец друг по другу прекращается в последний момент соударения (Рис.80).
-
На гладкой горизонтальной плоскости покоится длинная доска массы M. На доску ставят вертикально обруч радиуса r и массы m, раскрученный до угловой скорости 0. Центр обруча первоначально неподвижен. Найти установившиеся скорости тел и долю начальной кинетической энергии перешедшую в тепло, если коэффициент трения между обручем и доской k, трения между доской и плоскостью нет. (Рис.81)
-
На гладкой горизонтальной плоскости покоится длинная доска массы M. На доску ставят вертикально обруч радиуса r и массы m, . Центру обруча сообщают горизонтальную скорость v0, обруч первоначально не вращается (Рис.82). Найти установившиеся скорости тел и долю начальной кинетической энергии перешедшей в тепло, если коэффициент трения между обручем и доской k, трения между доской и плоскостью нет.
-
В однородный цилиндр массы M и радиуса R, покоящийся на гладкой горизонтальной плоскости, попадает пуля массы m, летевшая горизонтально со скоростью v на расстоянии r от оси цилиндра (Рис.83). Найти угловую скорость цилиндра и линейную скорость оси, если соударение неупругое. Считать m<<M.
-
Частица массы m, двигавшаяся горизонтально со скоростью v прилипает посередине однородного стержня массы M и длины l, подвешенного на шарнире за конец (Рис.84). Найти максимальный угол отклонения стержня относительно вертикали. Трения в шарнире нет.
-
Частица, двигавшаяся со скоростью v перпендикулярно оси гантели длины l, испытывает упругое соударение на расстоянии l/3 от центра гантели. Найти соотношение масс частицы и гантели, если после удара частица остановилась. (Рис.85)
-
Какой точкой длинной палки следует ударить, чтобы рука не чувствовала удара?
-
Атмосферные воздушные массы из субтропического пояса повышенного давления движутся в экваториальные широты с пониженным давлением. В каком направлении - западном или восточном отклоняются воздушные массы во время движения?