2.7 Вращение твердого тела

(A)

1. Найти кинетическую энергию точечной массы m, движущейся по окружности радиуса R с угловой скоростью .

2. Найти кинетическую энергию гантели (две точечные массы m на концах невесомого жесткого стержня длины 2R), вращающейся с угловой скоростью  относительно оси, проходящей через центр гантели перпендикулярно стержню.

3. Найти кинетическую энергию тонкостенного цилиндра радиуса R массы m, раскрученного до угловой скорости .

4. Найти момент инерции J гантели, представляющей собой точечные массы m, M на концах невесомого стержня. Ось вращения перпендикулярна стержню и находится на расстоянии r, R от масс.

5. Обруч массы M радиуса r может без трения вращаться вокруг закрепленной оси. На обруч намотана невесомая нить длины l. С какой угловой скоростью будет вращаться обруч после вытягивания всей нити, если к концу нити приложена сила F? Рассмотреть также раскручивание а) диска, б) произвольного тела вращения с моментом инерции J, в)* вытягивание массивной нити. Масса нити m.

6. На ворот колодца, представляющий из себя бревно массы M и радиуса R намотана цепь длины l и массы m. К цепи привязано ведро массы . Ведро отпускают. Найти скорость ведра в момент, когда раскрутится вся цепь.

7. Центру обруча массы m и радиуса r сообщили скорость v вдоль наклонной плоскости с углом . Найти максимальную высоту подъема обруча и скорость его центра внизу, если обруч движется вверх без трения, а вниз без проскальзывания.

(B)

8. Круглый барабан массы m, радиуса r, с моментом инерции J насажен на неподвижную горизонтальную ось, проходящую через центр барабана. На барабан намотана невесомая нить, к свободному концу которой привязан груз массы M. С каким ускорением будет опускаться груз, если его отпустить? Трения в оси нет, нить не проскальзывает. Определить ускорения а) тонкостенного цилиндра, б) сплошного цилиндра.

9. Найти угловое ускорение  блока радиуса R с моментом инерции J и линейные ускорения a, A масс m и M, закрепленных на концах нити, перекинутой через блок. Нить не проскальзывает по блоку. Трения в оси нет.

10. Найти ускорение, с которым будет скатываться без проскальзывания по наклонной плоскости с углом  тело вращения с моментом инерции J. Масса тела m, радиус r. Рассмотреть скатывание а) обруча, б) диска, в) шара.

11. Тело вращения радиуса r с моментом инерции J раскрутили до угловой скорости  и поставили в угол (Рис.69 ). Коэффициент трения между гранями угла и поверхностью тела равен . Сколько оборотов совершит тело до остановки? Рассмотреть остановку а) тонкостенного цилиндра, б) сплошного цилиндра, с) однородного шара.

12. Брусок массы M может двигаться по гладкому горизонтальному столу. На бруске укреплен тонкостенный обруч массы m радиуса r с намотанной на него невесомой тонкой нитью. К концу нити приложена горизонтальная сила F. Найти ускорение бруска и угловое ускорение обруча. Трения в оси нет, нить не проскальзывает по обручу. (Рис.70)

13. Тонкостенный цилиндр массы M радиуса r катится без проскальзывания с ускорением a по горизонтальной плоскости. На внутренней поверхности цилиндра скользит частица массы m, так, что угол ее отклонения  от вертикали постоянен. Найти коэффициент трения между цилиндром и частицей (Рис.71). Какую силу нужно приложить к центру цилиндра, чтобы он катился с заданным ускорением?

14. На правом краю, лежащей на горизонтальной плоскости доски длины L и массы M, находится сплошной цилиндр массы m и радиуса r. К доске приложена вправо горизонтальная сила F (Рис.72). Найти угловую скорость цилиндра в момент его скатывания с левого края доски. Коэффициент трения между доской и цилиндром , трения меду доской и плоскостью нет.

15. Гантель с массами m и M на концах невесомого стержня длины l вращается с угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через центр гантели (Рис.73). Найти угол, который образует стержень с осью вращения. Какой момент силы действует на ось вращения?

16. На покоящемся однородном горизонтальном диске массы M, радиуса R находится человек массы m. Диск может вращаться без трения вокруг вертикальной оси. Человек начал двигаться. Найти угловую скорость вращения диска, если человек движется со скоростью v по окружности радиуса r с центром в оси диска.

17. На краю свободно вращающейся с угловой скоростью  вокруг вертикальной оси карусели радиуса R с моментом инерции J находится человек массы m. Как изменится угловая скорость вращения карусели, если человек перейдет от края карусели к центру? Найти изменение энергии системы. Трения в оси вращения карусели нет. Размеры человека малы, по сравнению с радиусом карусели.

18. На n спиц колеса радиуса R надеты частицы массы m каждая. Частицы соединены с осью колеса пружинами жесткости k. Длина пружины в нерастянутом состоянии l. Колесо раскрутили так, что частицы достигли обода. Найти угловую скорость колеса и момент импульса системы, если масса обода колеса M, а масса спицы m.

19. Два диска с моментами инерции j и J, первоначально вращавшиеся с угловыми скоростями  и  вокруг единой оси, приведены в соприкосновение друг с другом (Рис.74). Найти угловую скорость дисков после прекращения проскальзывания. Сколько тепла выделится?

20. Шар катится без проскальзывания со скоростью v по горизонтальной плоскости и въезжает на наклонную плоскость с углом . На какую высоту поднимется шар если а) проскальзывания нет, б) трения нет?

21. Тонкостенный цилиндр массы m радиуса r, скатившись без проскальзывания по наклонной плоскости с высоты h по горизонтальной поверхности движется, наматывая на себя тонкую липкую ленту массы M, длины l. Найти скорость цилиндра, когда вся лента будет намотана.

22. В установке, находящейся на полюсе Земли, точечные массы удерживаются с помощью нити на расстояниях R от вертикальной оси. Нить пережигают. Массы опускаются и оказываются на расстоянии r = 0.1R от оси (Рис.75). С какой угловой скоростью n (оборотов/час) вращается после этого установка, если вначале она не вращалась относительно Земли? Трения нет.

(С)

23. Автомобиль массы m с очень мощным двигателем стартует по горизонтальной дороге с коэффициентом трения . Найти ускорение автомобиля. Рассмотреть случаи: а) ведущие передние колеса, b) ведущие задние колеса. Центр масс автомобиля находится на высоте h над дорогой посередине расстояния между колесами l.

24. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две нити. К концам нитей привязаны массы m и M. Найти ускорения масс и натяжения нитей, если радиусы цилиндров блока r и R, момент инерции блока J. Нити не проскальзывают по блоку, трения нет. (Рис.76)

25. Плоское осесимметричное тело радиуса R, массы m с моментом инерции J раскрутили до угловой скорости ₀ и поставили на вертикально на шероховатую горизонтальную плоскость. Найти зависимость линейной скорости оси тела от времени v(t) и угловой скорости (t), если коэффициент трения тела о плоскость . Через какое время прекратиться проскальзывание, какая доля начальной энергии перейдет в тепло? Рассмотреть движение а) тонкостенного обруча, b) однородного диска, c) шара.

26. Невесомый жесткий стержень с закрепленными на концах массами m и M кладется горизонтально на опору посередине. Найти силу давления стержня на опору в начальный момент.

27. Однородное бревно массы m лежит горизонтально, опираясь на две опоры на концах. Одну из опор внезапно убрали. Во сколько раз изменится сила давления на оставшуюся опору в первый момент.

28. Карандаш длины l установлен вертикально на горизонтальной плоскости. Найти скорость верхнего конца карандаша в момент удара о плоскость если а) трения нет, б) нет проскальзывания.

29. С какой силой действует падающая из вертикального положения гантелька на гладкую горизонтальную плоскость в момент, когда ось гантельки составляет угол  с горизонтом? Гантелька состоит из двух частиц массы m, соединенных жестким невесомым стержнем длины l.

30. Сплошной цилиндр радиуса r и массы m скатывается без проскальзывания в цилиндрическую выемку радиуса R в подставке массы M, стоящей на гладком горизонтальном столе. Оси цилиндра и выемки параллельны. Найти скорость цилиндра в нижней точке выемки и силу, с которой он действует подставку в этой точке.(Рис.77)

31. Три одинаковых цилиндра, вращавшихся с равными угловыми скоростями  приведены в соприкосновение так, что их оси параллельны (Рис.78). Найти установившуюся угловую скорость цилиндров и долю энергии перешедшей в тепло. Левый и правый цилиндры прижаты к центральному с одинаковыми силами.

32. Четыре одинаковых цилиндра расположены так, что их оси параллельны и в поперечном сечении проходят через вершины квадрата. Один из цилиндров раскрутили до некоторой угловой скорости относительно оси и все цилиндры привели в соприкосновение между собой (Рис.79). Какая часть энергии перейдет в тепло? Все цилиндры прижаты друг к другу с одинаковыми силами.

33. На упругую стенку со скоростью v под углом  относительно нормали налетает шарик радиуса r. До соударения шарик не вращался. Найти измененние поперечного импульса шарика. Под каким углом и с какой угловой скоростью отразится шарик, если коэффициент трения между ним и стенкой k?

34. Два одинаковых тонких вращающихся кольца движутся по гладкой горизонтальной плоскости навстречу друг другу со скоростями v и V, направленными по прямой, соединяющей центры колец. Начальные угловые скорости колец  и . Найти угловую скорость колец после соударения, если проскальзывание колец друг по другу прекращается в последний момент соударения (Рис.80).

35. На гладкой горизонтальной плоскости покоится длинная доска массы M. На доску ставят вертикально обруч радиуса r и массы m, раскрученный до угловой скорости ₀. Центр обруча первоначально неподвижен. Найти установившиеся скорости тел и долю начальной кинетической энергии перешедшую в тепло, если коэффициент трения между обручем и доской k, трения между доской и плоскостью нет. (Рис.81)

36. На гладкой горизонтальной плоскости покоится длинная доска массы M. На доску ставят вертикально обруч радиуса r и массы m, . Центру обруча сообщают горизонтальную скорость v₀, обруч первоначально не вращается (Рис.82). Найти установившиеся скорости тел и долю начальной кинетической энергии перешедшей в тепло, если коэффициент трения между обручем и доской k, трения между доской и плоскостью нет.

37. В однородный цилиндр массы M и радиуса R, покоящийся на гладкой горизонтальной плоскости, попадает пуля массы m, летевшая горизонтально со скоростью v на расстоянии r от оси цилиндра (Рис.83). Найти угловую скорость цилиндра и линейную скорость оси, если соударение неупругое. Считать m<<M.

38. Частица массы m, двигавшаяся горизонтально со скоростью v прилипает посередине однородного стержня массы M и длины l, подвешенного на шарнире за конец (Рис.84). Найти максимальный угол отклонения стержня относительно вертикали. Трения в шарнире нет.

39. Частица, двигавшаяся со скоростью v перпендикулярно оси гантели длины l, испытывает упругое соударение на расстоянии l/3 от центра гантели. Найти соотношение масс частицы и гантели, если после удара частица остановилась. (Рис.85)

40. Какой точкой длинной палки следует ударить, чтобы рука не чувствовала удара?

41. Атмосферные воздушные массы из субтропического пояса повышенного давления движутся в экваториальные широты с пониженным давлением. В каком направлении - западном или восточном отклоняются воздушные массы во время движения?