56.Точки перетину кривої. Теореми 2 і 3.

Озн. нехай ф-ія y=f(x) визнач. на (a,b). Т.хо є (a,b) наз. точк. перетину кривої y=f(x), вона є одночасно кінцем інтервалу опуклості вверх і кінцем інтерв. опуклості вниз.

Пр. - опукла вверх.

- опукла вниз.

Для даної ф-ії т.хо=0 є точкою перетину.

Теор.2(необх. умови точки перетину): нехай ф-ія y=f(x) двічі неперервно диференц. на (a,b). Якщо хо є (a,b) є точкою перетину, то y``(xo)=0.

Довед.: припустимо, що y``(xo)0. Тоді або y``(xo)>0 або y``(xo)<0. Розгл. перший випадок. Оскільки за умовою теор. y``(x) неперервна у т.хо, то за теор. про знак непер. ф-ії існує такий окіл для всіх х з якого y``(x)>0. Тобто для всіх цих точок крива y=f(x) буде опуклою вниз і т.хо зрозуміло не може бути точкою перетину (бо є центром цього інтерв.). Аналогічно неможливий випадок, коли y``(xo)<0. Таким чином у точці перетину y``(xo)=0

Аналогічно тому, як точки локал. екстр. були серед точок, в яких перша похідна або=0, або не існує, то і точки перетину знаходяться серед точок, в яких друга похідна або=0, або не існує. Такі точки наз. критичними точками другого роду. Враховуючи це теор.2 можна узагальнити таким чином:

Якщо хо – т.перетину кривої y=f(x),то хо – критична точка другого роду ф-ії f(x).

Заув. як і для екстремумів твердж. обернене необхідній умові не виконується, тобто із того, що хо – критична точка другого роду, ще не випливає, що т.хо – т.перетину. Прикладом, який це підтверджує є ф-ія - критична точка другого роду, але ні якого перетину крива в цій точці не має.

Теор.3(достатні умови т. перетину): Нехай хо – крит. точка 2 роду ф-ії f(x). Точка хо є точкою перетину для ф-ії f(x), якщо друга похідна y``(x) при переході через цю точку змінює знак.

57. Асимптоти кривої.

Озн. пряма l наз. асимптотою кривої, якщо відстань від зміної т.М даної кривої до прямої l прямує до 0, коли т.М, рухаючись по кривій, віддаляється у нескінченість.

Відрізняють вертикальні, похилі і горизонт. асимптоти.

1. Вертик. Асимптоти

Пряма х=хо є вертик. асимпт. y=f(x), якщо або або інакше кажучи, якщо хо є точкою розр. 2 роду y=f(x).

Якщо т.Мїї абсциса і .

2.

прямокутний. тобто . Якщо , за означ. асимпт. і З іншого боку МК можна подати у вигляді різниці: МК = MN - KN = f(x) -(kx+b) = буде нескінч. малою ф-єю, якщо . Поділимо обидві част. рівн.(1) на х і перейдемо до границі при :

Звідси кутовий коеф. асимптоти: Підставлюючи знайдене значення k в (1) і перейшовши при одерж.:

Таким чином рівн. похилої асимптоти має вигляд y=kx+b, де величини k і b визначабться форм.(2) і (3). Якщо хоча б одне з цих значень = або не існує, то крива не має похилої асимптоти. У випадку, якщо k=0 одержимо y=b. Цим рівн. визначається горізонтальна асимпт., тобто горіз. асимпт. кривої, взагалі кажучи, є частиним випадком похилої асимптоти. Тому іноді відрізняють лише два вида асимпт: вертик. і невипртикальні.

Заув. при знаходжені значень k і b за форм.(2) і (3) треба обовязково розглядати випадки, коли і оскільки ф-ія може мати різні похилі асимптоти

Прикл. знайти асимпт. ф-ії:

. За форм. (2):

Похила асимптота задається рівн.: y = kx+b = x+1.