43. Теор. Ферма і Ролля

Теор.(Ферма): якщо ф-ія y=f(x) неперервна на (a,b) і набуває свого найменьш. або найбільш. знач. в т.cє(a,b), якщо в т.c існує похідна, то f`(c)=0.

Довед. розгл. випадок, коли в т.С ф-ія f(x) набуває найбільш. значен. Тоді f(x)f(c), xє(a,b). Надамо т.с приріст . Оскільки с внутрішня т. (a,b), цей приріст може бути як додатним так і відємним, а припірст . Тоді похідна у т.с зліва: Похідна в цій точці зправа:

За умовою теор.

Наведена рівність можлива лише тоді, якщо f`(c)=0.

Геом. зміст: якщо ф-ія y=f(x) задовольняє вимогам теор. на графіку цієї ф-ії у т.(c,f(c)) дотична буде паралельною осі ОХ:

Теор.(Ролля): нехай ф-ія f(x) неперервна на [a,b] диференц. на (a,b) і на кінцях цього інтервалу набуває рівниз значень: f(a)=f(b). Тоді існує т.с, що є (a,b) така, що f`(c)=0.

Довед. оскільки f(x) неперервна на [a,b], то за теор. Вейерштрасса вона набуває на ньому свого найбільш. М і найменьш. m x=a, x=b, то з умови f(a)=f(b) випливає, що f(x)=C=const, xє[a,b]. Тоді f`(x)=0, xє[a,b]. У випадку, коли хоча б одне з цих значень ф-ія f(x) набуває у внутрішній т.сє(a,b), то за т.Ферма f`(c)=0.

Геом. зміст: якщо ф-ія f(x) задовольняє вимогам т. Ролля, то на її графіу знайдеться хоча б одна точка (c,f(c)) дотична в якій паралельна осі ОХ. Таких точек може бути і декілька, але одна обовязково існує за т.Ролля.

Заув. всі перелічині 3 умови в т.Ролля є суттєвим. Якщо хоча б одна з них не виконується, то т.Ролля також не виконується.

Прикл. y=1-|x|, xє[-1,1]

Дана ф-ія неперервна на [-1,1] на його кінцях набуває рівних значень y(1)=y(-1)=0, але на

(-1,1) немає жодної точки, в якій похідна ф-іїї =0. Тому, що дана ф-ія не задовольняє вимогу про диференційовність во всіх точках (-1,1) (У т.х=0 вона недиференц.).

44.Теор. Коші і Лагранжа.

Теор.(Коші): 1) ф-ії f(x), непер. на [a,b];

2) ф-ії f(x), дифер. на (a,b);

3)

Тоді існує т.сє(a,b) така, що

Довед.: спочатку покаж., що тобто Припуст. супрот. Нехай але тоді ф-ія задовольняє всім вимогам т.Ролля. За цією теор. повина існувати т.сє(a,b) така, що Але це суперечить умові (3) даної теор. Одержана суперечність доводить, що Розгл. тепер допоміжну ф-ію:

Покаж., що F(x) задовольняє всім вимогам т.Ролля:

1) F(x) є непер. на [a,b] оскільки ф-ії f(x), є за умовою теор. непер. на [a,b];

2) F(x) дифер. на (a,b) оскільки за умовою теор. f(x), дифер. на (a,b);

3) якщо x=a:

якщо x=b:

Тоді за т.Ролля існує т. с є (a,b) така, що F`(c)=0. Знайд. похідну:

Тоді:

Звідси:

Теор.(Лагранжа): Нехай ф-ія f(x) непер. на [a,b] і диференц. на (a,b). Тоді існує т.с є (a,b):

f(b) - f(a)=f`(c)(b-a)(1).

Довед. т.Лагранжа відразу випливає з т.Коши, якщо замість ф-ії взяти ф-ію Дійсно

Звідси одразу виплмває форм.(2). Теорему доведено.

Форм.(2) наз. форм. Лагранжа.

Геом. зміст т.Лагранжа:

Він полягає в тому, що на графіку ф-ії y=f(x) (якщо ця ф-ія задовольняє вимогам т.Лагран.) обовязково існує точка (c,f(c)) дотична в якій паралельна відрізку, що зєднує т.А(a,f(a)) і B(b,f(b)). Все це безпосередньо випливає з форм.(3).