- •34.Похідні елемент. Ф-ій
- •35.Похідна складної функції. Похідна функції заданої неявно.
- •36. Похідна оберн. Ф-ії. Диференц. Оберн. Тригоном. Ф-ій.
- •37.Похідна функції, заданної параметрично.
- •38.Гіперболичні функції, їх властивості та похідні.
- •39.Диференціал.Геом. Зміст диференц.
- •40.Властив. Диференц.Інваріантність форми дифер.Застосув. Дифер. У наближ. Значен.
- •Дов. Інваріантність форми дифер.
- •Заст. Дифер. У наближ. Обч.
- •41. Похідні вищих порядків.
- •42. Форм. Лейбніца. Диференц. Вищих порядків.
- •43. Теор. Ферма і Ролля
- •44.Теор. Коші і Лагранжа.
- •45. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеності 0/0
- •46.Правило Лопіталя для розкриття невизн.
- •47.Формула Тейлора для многочлена
- •48.Формула Тейлора для ф-ії.
- •49.Форм. Тейлора з залишк. Членом у формі Лагранжа.
- •50.Теор. Про умови сталості ф-ії. Наслідок.
- •51.Ознаки монотоності ф-ії.
- •52.Локальн. Екстремум ф-ії. Теор. Про необхідну умову.
- •53.Перша достатня умова екстр. Ф-ії. Правило дослідж. Ф-ії на екстремум.
- •54.Друга і третя достатні умови локал. Екстр. Ф-ії.
- •55.Опуклість і вгнутість кривих. Теор.1
- •56.Точки перетину кривої. Теореми 2 і 3.
- •57. Асимптоти кривої.
- •1. Вертик. Асимптоти
- •58.Первісна ф-ії і невизн. Інтеграл.
- •Власт. Невизнач. Інтегр.:
- •59.Основні інтегр. Інтегр., що не є елемент. Ф-ми.
- •60. Інтегр. Підстановкою у невизн. Інтегр. Приклади.
- •61.Інтегрув. Частинами у невизн. Інтегралі.
- •62.Обчислення інт.
- •63.Інт., що містять у знамен. Квадр. Трьохчлен. 1,2,3 типи.
- •64.Інтегр., що містять у знам. Кв. Трьохчлен. 4,5,6,7 типи.
- •65.Інтегрув. Дробово-раціон. Ф-ій.
- •66.Інтегрування деяк. Алгебр. Ірраціон. Підст. Ейлера
- •67.Інтегр. Диференц. Біномів. Підстановки Чебишева.
- •68.Інтегрув. Раціон. Виразів, до яких входять тригоном. Ф-ії.
- •69.Означ. Визнач. Інтегралу. Геометр. І фізичний зміст.
- •70.Умови існув. Визначен. Інт. Властив. Визнач. Інт., вираж. Рівностями.
- •Власт. Визн. Інт., вираж. Рівн.
- •71.Власт. Визн. Інт. Виражені нерівн. Теор. Про сер. Знач ф-ії.
- •12) Теор.(про середнє знач. Ф-ії)
- •72.Інтегр. Із змінною верхнюю межою інтегр. Теор. Наслідок.
- •73.Форм. Ньютона-Лейбніца. Заміна змін. У визнач. Інтегр. Інтегр. Частин. У визнач. Інтегр
Власт. Визн. Інт., вираж. Рівн.
1) Величина визначен. інт. не зміниться від позначення зміної інтегрування:
2) Визнач. інтегр. з однаковими межами інтегр. = 0:
3) При заміні місцями меж інтегр. визнач. інтегр. змінює знак на протилежний:
4) Якщо ф-ія f(x) інтегр. на [a,b] і с є [a,b], то:
Довед. оскільки інтегральні суми не залежать від способу розбиття відрізка [a,b] візьмемо таке розбиття, щоб с була однією з його точок. Нехай тоді
Перейшовши у рівн.(2) до границі при одерж.(1).
5) Сталий множник можна виносити за знак визнач. інтегр.:
Довед.
6) Визнач. інтегр. від суми інтегр. на [a,b] ф-ій = сумі інтегр. від цих ф-ій:
Довед.
71.Власт. Визн. Інт. Виражені нерівн. Теор. Про сер. Знач ф-ії.
7) Якщо ф-ія f(x) інтегровна на [a,b] і то
Довед. довільна інт. сума для ф-ії f(x) задовольн. нер.:
Тоді і інт.
8) Якщо ф-ії f(x) i g(x) інтогр. на [a,b] і то:
Довед. розглян. ф-ію
Звідси:
9) Нехай ф-ія f(x) інтегр. на [a,b]. Тоді:
1) |f(x)| інтегр. на [a,b] ф-ія;
2)
1) твердж. без довед.
Довед. 2): очевидна нерівн.
Тоді за властив. 8: Звідси:
10) Якщо ф-ія f(x) інтегр. на [a,b] і то
Довед. За власт. 8 оскільки Оскільки
11) Якщо ф-ія f(x) інтегр. на [a,b] і
Безпосередньо випливає із попередньої властивості.
12) Теор.(про середнє знач. Ф-ії)
Нехай ф-ія f(x) неперервна на [a,b]. Тоді існує т.сє[a,b] така,що:
Довед.: якщо ф-ія f(x) неперевна, то згідно з достатньою умовою інтегр., вона буде інтегр. на [a,b]. Крім того за теор. Вейерштр. f(x) набуває на [a,b] свого найменьш. m і найбільш. M значень. Тоді за власт. 11 виконується нерівність:
або Оскільки за теор. про проміжне знач. неперевн. ф-ії або
Звідси:
72.Інтегр. Із змінною верхнюю межою інтегр. Теор. Наслідок.
Нехай f(x) непер. на [a,b], тоді ця ф-ія буде інтегр. на будь-якому відр. [a,x], де Тобто існує інтеграл . Ми познач. зміну інтегр. через t, щоб не плутати її з верхньою межою інтегр. Вказаний інтегр. є ф-ією від х: і = площи заштрихов. фігури:
ОЗН.: інтегр.(1) наз. інтегр. із зміною верхньою межою інтегр.
Теор. Похідна від інтегр. із зміною верх. меж. інтегр. від неперевн. ф-ії = підінтегрільній ф-ії, в якій зміна інтегр. замінена верхн. межою:
Довед.
Тоді: Оскільки за умовою теор. підінт. ф-ія в інтегр.(3) неперервна застосуємо до цього інтегр. теор. про середнє значеня
За означ. похідної:
Насл. Будь-яка неперервна ф-ія має первісну. Однією з цих первісних є інтеграл із зміною верхньою межою (1)
Довед. за означ. будь-яка ф-ія F(x) є первісною ф-ії f(x), якщо F`(x)=f(x). За теор. Ф`(x)=f(x). Тобто Ф(х) є первісною ф-ії f(x). Як відомо всі первісні ф-ії f(x) відрізняються одна від одної на сталу, тому для будь-якої первісної F(x) справедлива форм.
F(x)+c=Ф(х) або