45. Правило Лопіталя. Розкриття невизначеності 0/0

ТЕОР. Нехай ф-ія f(x) і неперервні і диференц. у деякому околі т.х0, крім можливо самої т. х0, і нехай в данному околі і , крім того існує границя , тоді існує гран. і ці границі ріні:

Довед. Довизначим ф-ії f(x), , поклавши f(xo)= Тоді дані ф-ії будуть неперервні у т. хо. Розглянемо [хо,х], що належить вказано в умові теор. околу. На цьому відрізку ф-ії f(x) і неперервні . Ці ф-ії є диференц. на (хо,х) і за умовою теор. ,Тоді дані ф-ії задавольняють всім трьом вимогам теор. Коши. За цією теор.

Звідси одержимо:, де с є (хо,х). Оскільки за умовою існує, то

Звідси . Теор. доведено.

НАСЛ. Наведена теор. справедлива і тоді, коли .

Довед. Дійсно, нехай Розглянемо ЗАУВ. Якщо ф-ії f `(x) і задовольняють тим самим вимогам, що ф-ії f(x) і наведену теор. можна застосувати двічі:

Взагалі кажучи цю теор. при певних умовах можна засосовувати стільки разів скільки потрібно, доки не одерж. гран. , яка = певному значеню. Ця гран. і є гран. виразу .

Прикл.:

46.Правило Лопіталя для розкриття невизн.

Теор.: нехай ф-ії f(x) і непер. і диференц. у деякому околі т.хо, за винятком можливо самої т.хо, і крім того в даному околі Якщо існує границя то існує границяі ці границі рівні: Наведені вище теореми наз. також правилами Лопіталя. Слід звернути особливу увагу на те, що ці правила можна застосов. лише для розкриття невизначен. які наз. основними. Для всіх інших видів невизнач. прав. Лоп. безпосередньо застосов. не можна, а можна застосов. лише після зведеня даних невизн. до основних. Розглянемо це на деяких прикладах:

1)

2) 3) Прикл.: 1) 2) Заув. у деяких випадках застосув правила Лопіталя не розкриває основні невизначеності. Границі, в цих випадках, треба знаходити іншими методами.

Наприкл.: Цю границю не можливо обчислити за допомогою правила Лопіталя. Її обчислюють іначе:

47.Формула Тейлора для многочлена

Розглянемо многочл. n степення де bo,b1,…bn є R. Форм.(1) наз. також розкладен. многочл. Pn(x) за степеннями різниці х-хо, а коефіц. bo,b1,…,bn – коефіц. цього розкладення. Задача полягає в тому, щоб диференціюючи визначити значен. коефіц. bo,b1,…,bn. Розглянемо Pn(xo)=bo. і т.д до похідної n порядку. Одержані коефіц. мають вигляд bo=Pn(xo); b1=P`n(xo)

Підставляючи одержані вирази у форм.(1):Форм.(2) наз. форм. Тейлора розклад. многочл. за степеннями (х-хо). Якщо у форм.(2) хо=0 одержимо:

Форм.(3) наз. формулою Маклорена розкладен. многочл. за степенями х.

ЗАУВ. З наведених вище формул випливає, що для кожного многочлена Рn(x) існує єдине розклад. за форм. Тейлора (2). Тобто, якщо:

і

де то

48.Формула Тейлора для ф-ії.

Нехай задана ф-ія f(x), яка у деякому околі т.хо має похідні до n+1 включно і ця ф-ія не є многочленом n степення. Задача полягає в тому, щоб визначити коефіц. многочл. Таким чином, щоб знач. цього многочл. у т.хо і його похідних співпадали зі значеннями ф-ії f(x) у т.хо і її відповідних похідних:

Розсуждаючи аналогічно тому, як це було зроблено для многочл. Тейлора, одержимо:

Підставляючи знайдені коефіц. у многочл. Pn(x), одержимо: Озн.: многочлен Tn(x), що визначається форм.(1) наз. многочл. Тейлора для ф-ії f(x).