61.Інтегрув. Частинами у невизн. Інтегралі.

Нехай u=u(x), v=v(x) дифер. на деякому інтерв. ф-ії. Диференц. d(uv)=udv+vdu udv=d(uv)-vdu (1): Форм.(2) наз. форм. інтегрув. частинами у невизнач. інтегралі. Слід звернути увагу на те, що при знаходженні ф-ії v за диференціалом dv вважають, що с=0. Оскільки на кінцевий результат значен. сталої с не впливає. Підставимо у форм.(2) замість v – v+c: Порівнюючи метод інтегр. частинами з методом заміни змінної слід вказати, що метод інтегрув. частинами має більш вузьку обл. застосув. Проте існують ф-ії, інтеграли від яких обчислюються лише цим методом. Такі інтегр. умовно можна поділити на 3 групи:

P(x) – алгебр. многочлен; a,b є R.

В таких інтегралах за u завжди потрібно брати P(x), а все, що залиш. за dv.

В таких інтегр. треба за dv брати P(x)dx, а все, що залиш. брати за u.

При обчисл. таких інтегр. можна використовув. будь-яке розклад. підінтегральн. виразу на u і dv. Але застосув. методу інтегрув. частинами має таку особливість: цей метод треба застосовувати двічі і при другому застосув. треба зберігати аналогічне розкладення підінтегральної ф-ії. Тобто, якщо 1 раз за u взяти тригонометр. ф-ію, то і 2 раз за u також треба брати тригон. ф-ію.

Прикл.: 1 тип: Приклад 2: 3 тип: Звідси:

62.Обчислення інт.

Одержимо форм. для інтегр. і за індексом , де nєN, n>1. Розглянемо |u=x du=dx;

dV==V=Підставимо знач. 2 у вираз 1:

Остаточно одержимо:

Ми одержали рекорентну форм.(3) за допомогою якої обчислен. інтеграла In зводиться до обчисл. інт. Здійснюється за тією ж самою форм.(3), яку слід застосовувати доти, коли кінцевий інтеграл буде: