3.2.9. Передаточные функции непрерывной части дсау

Во второй главе было установлено, что передаточная функция фиксатора нулевого порядка имеет вид

1 – e^-sT

G_h0(s) = ———— . (26)

s

выполнив z-преобразование надG_h0(s), получим:

G_h0(z) = Z{ G_h0(s) } = (1 – z^-1) Z{1/s} = 1.

Этот результат очевиден, так как фиксатор нулевого порядка в течение периода квантования удерживает постоянным дискретный сигнал, полу­ченный в результате выборки, и вычисление z-преобразования для переда­точной функции фиксатора должно определять исходный квантованный сигнал. Однако в большинстве случаев на практике за фиксатором нуле­вого порядка следует непрерывная часть системы (рис. 3.12). z-Преобра-зование выходного сигнала системы в этом случае

C(z) = G₁(z)R(z), где G1(z) = Z{G_h0(s)G(s)}

Подставляя передаточную функцию фиксатора (26) в последнее выражение, получаем:

G₁(z) = (1 –z^-1) Z{ G(s)/s }. (27)

Рис. 3.12. Система с устройством выборки и хранения

В рассматриваемом случае z-преобразование числителя передаточной функции фиксатора можно вынести за скобки в соответствий с теоремой сдвига во временной области. Однако z-преобразование G(s)/s Должно быть определено как для одного целого.

Пример 1. Определим передаточную функцию непрерывной части.

W_н(s)=kн / s(1 + T₁s)

Коэффициент передачи непрерывной части kн = 100град/Вс, цена младшего разряда входного преобразователя (АЦП) ₁=0,1=6, а цена младшего разряда выходного преобразователя (ЦАП) =0,05 В, период дискретности Т = 0,5 с.

Учитывая соотношение (25) и таблицы z-преобразования, раскладывая выражение в фигурных скобках на простые дроби, получим

k_н z – 1 1 T₁ T₁² Kн(z – 1) Tz T₁z T₁z

W(z) =   = Z{ -  +  }=  [  -  +  ] =

₁ z s² s 1 + T₁ z (z – 1)² z – 1 z - d

Kн [(T – T₁ + dT₁)z + ( 1 – d)T₁ – dT] 5.5z + 4.25 k_н

=  =  , где Kн =  .

(z – 1)(z – d) (z – 1)(z – 0.61) ₁

Пример 2. Определим передаточную функцию импульсной системы квантователем и фиксатором в обратной связи.

K

1 + 2s

фиксатор

r(t)=u(t) c(t)

+

-

Т

Для выходного сигнала z-преобразование принимает вид

RG*(z)

C(z) = ————— , ( a )

1 + G_h0G*(z)

где RG*(z) = Z{R(s)G(s)}, G_h0G*(z) = Z{G_h0(s)G(s)};

для единичного ступенчатого входного сигнала получим

K K(1 – e^-0.5T)z

RG*(z) = Z{———— } = ——————— . ( b )

s(1 + 2s) (z – 1)(z - e^-0.5T )

1 – e^-sT K K(1 – e^-0.5T)

G_h0G*(z) = Z{———— ———— } = ——————— . ( c )

s 1 + 2s ( z - e^-0.5T )

после подстановки (b), (c) в (a) получим

K(1 – e^-0.5T)z

С(z) = ————————————— .

(z – 1)[z - e^-0.5T + K(1 - e^-0.5T )]

Для периода квантования Т = 0,25 с и К = 1 получаем

0,118z

С(z) = ———————— .

(z – 1)(z – 0,764 )

Разложение C(z) в ряд делением числителя на знаменатель дает: C(z) = 0.118z^-1 + 0.207 z^-2 + 0.276 z^-3 + 0.329z^-4 + 0.369z^-5 + 0.400 z^-6 + 0.423 z^-7 + 0.441 z^-8 + 0.455 z^-9 + 0.466 z^-10 + 0.473 z^-11 + 0.480 z^-12 + 0.485 z^-13 + 0.488 z^-14 + … Конечное значение c(kT) равно 0,5.

15