3. Дискретные преобразования и их основные свойства. Дискретное преобразование Лапласа._____________________________________________________________________

3. Дискретные преобразования и их основные свойства

Так же как и для анализа и синтеза непрерывных систем используются различные интегральные преобразования (Лапласа, Фурье) так и для импульсных и цифровых систем применяют различные преобразования. В настоящем курсе будут рассмотрены наиболее часто используемые в практике проектирования дискретных систем автоматического преобразования

• дискретное преобразование Лапласа;

• z-преобразование;

• w-преобразование.

3.1. Дискретное преобразование Лапласа

3.1.1. Прямое d-преобразование

Дискретное преобразование Лапласаявляется функциональным преобразованием решетчатых функций f[n] и определяется соотношением



F*(q) = Σ e^-qn f[n] ( 3.1 )

n=0

или для смещенных решетчатых функций f[n,ε]



F*(q,ε) = Σ e^-qn f[n,ε] ( 3.2 )

n=0

Здесь q= σ +jω- комплексное число, называемоепараметром преобразования,аε-вещественный параметр. Если сравнить (3.1) или (3.2) с определением обычного преобразования Лапласа функцииf(t)



F(q) = ∫ e^-st f(t)dt ( 3.3 )

0

то легко заметить аналогию между ними. Интегралу с бесконечным пределом соответствует бесконечная сумма - ряд в (3.1) или в (3.2); непрерывной переменной t-дискретная переменнаяnи, наконец, произвольной непрерывной функцииf(t) - решетчатая функцияf[n] или смещенная решетчатая функцияf[n,ε].

Параметр qсвязан с параметромsсоотношением

q=sT,

где Т – период квантования непрерывной функции идеальным импульсным элементом.

Соотношение (3.2) устанавливает соответствие между решетчатой функцией f[n,ε] и функциейF*(q,ε) комплексной переменнойq. По аналогии с обычным преобразованием Лапласа функ­циюf[n,ε] называюторигиналом,аF*(q,ε) -изображением.Само преобразование функцииf[n,ε] вF*(q,ε) называютпрямым D-преобразованием.

Так как параметр εне влияет на свойства D-преобразования, то для упрощения записи в основном будем рассматривать решетчатую функцию f[n], а не смещенную решетчатую функциюf[n,ε].

Для того чтобы изображение решетчатой функции было определено, ряд (3.1) должен быть сходящимся. Значение величины σ_с, для которого при σ > σ_сряд (3.1) сходится, а при σ < σ_срасходится, называетсяабсциссой сходимости. Абсцисса сходимости σ_спредставляет, таким образом, наибольшую нижнюю границу значений σ₀, при которых ряд (3.1) сходится.

Если для данной решетчатой функции f[n] абсцисса сходимости σ_с<, то ряд (3.1) сходится при всех значенияхq, удовлетворяющих условиюRe q = σ > σ_с. В этом случае функцияf[n] называется преобразуемой. Всякой преобразуемой функцииf[n] соответствует изображениеF*(q).

Если же для данной решетчатой функции f[n] абсцисса сходимости σ_с = +, то ряд (3.1) расходится при любомq. В этом случае изображение дляf[n] не существует.

Пример 1. Пусть f[n] = 1[n], как показано на рис. 3.1. Изображение «постоянной» решетчатой функции равно при Re q > 0:

 1 e^q

F*(q) = Σ e^-qn 1[n] = —— = —— .

n=0 1-e^-q e^q -1

Рис. 3.1. Решетчатая функция 1[n]

Таким образом, eq F*(q) = D{1[n]} = —— . 1-e-q При суммировании здесь использовалась формула суммы бесконечной геометрической прогрессии. В этом случае абсцисса сходимости σс = 0.

Пример 2. Пусть f[n,ε]=e^α(n+ε),где α – вещественное число.Такая решетчатая функция при α < 0 и α > 0 показана на рис. 3.2. Изображение решетчатой экспоненты равно

 e^αεe^qe^αε

F*(q) =Σe^-qne^αne^αε= ———— = ——— .

n=0 1- e^{-(q – α)} e^q - e^αε

при ε = 0 получаем

e^q

F*(q) =D{e^αn} = ——— .

e^q - e^α

Суммирование здесь возможно при Re q > α. В этом случае абсцисса сходимости σ_с = α.

Рис. 3.2. Смещенные решетчатые экспоненциальные функции

Пример 3. Пусть f[n] = n! или f[n] = e^αn2.

Изображений этих функций не существует, так как для них абсцисса сходимости σ_с равна бесконечности.

Таким образом, существование абсциссы сходимости 0<_с, < со обеспечивает существование изображения. Если решетчатая функция удовлетворяет условию

|f[n]| <Me^α_ⁿ,

т. е. если порядок роста ее не больше, чем порядок роста e^α_ⁿ,то абсцисса сходимости σ < σ_си, следовательно, изображение этой функции существует.

Из определения D-преобразования (3.1) или (3.2) и приведенных выше примеров видно, что изображения решетчатых функций являются функциямиe^q. Это характерное свойство дискретного преобразова­ния Лапласа. Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство и отличать изображение решетчатой функции (3.1) от изображения соот­ветствующей непрерывной функции (3.3). обозначение первого изображения снабжено звездочкой.

Рассмотрим теперь F*(q) на плоскости комплексной переменнойq. Так какF*(q) является функциейe^q, аe^qпредставляет собой перио­дическую функцию вдоль мнимой осиjω (e^q+2kπj=e^q) то иF*(q) - также периодическая функция вдоль мнимой оси, т. е.

F*(q) = F*(q+2πkj), (3.4)

и изображения решетчатых функций полностью определяются при Req> σ_св любой полосе, параллельной действии тельной оси и шириной 2π. Целесообразно поэтому выбрать полосу симметричной относи­тельно действительной оси. т. е. так, чтобы

- π < Im q  π,

как это показано на рис. 3.3. В полуполосе Re q > σ_с изображение F*(q) является аналитической функцией e^q и q. Во многих случаяхF*(q) может быть аналитически продолжена в левую полуполосуReq< σ_с.

Рис. 3.3. Плоскость комплексной переменной q. Полоса - π < Im q  π.

В общем случае F*(q) внутри полосы может иметь особые точки при Re q < σ_с, например полюсы, в которых F*(q) обращается в бесконечность. В полосе -π<Imqπкаждому комплексному полюсуq_ν= σ_ν+jω соответствует обязательно сопряженный полюсq_ν+1= σ_ν+1-jωтак как коэффициенты, входящие вF*(q),в случае действительнойf[n] всегда вещественны. Это обстоятельство и является причиной выбора именно этой полосы. Во всех остальных полосах мнимые части этих полюсов отличаются на величину ±2πkj. Еслиq_{ν, ν+1}= σ_ν ±jπ, т.е. ω _ν= π, то полюсы лежат на границах полосы. В этом случае нужно учитывать один из этих полюсов, напримерq_ν= σ_ν+jω (рис. 3.3). В дальнейшем, говоря об особых точкахqизображенияF*(q) будем иметь в виду особые точки, лежащие восновной полосе,не оговаривая этого каждый раз.

Если решетчатая функция f[n] преобразуема, тоF*(q) приReqσ_сявляется единственным изображениемf[n] и обратно, изображениюF*(q) соответствует приn0 единственная решетчатая функцияf[n]. Таким образом, соответствие между оригиналомf[n] и изображениемF*(q) при этих условиях однозначно.

В ряде случаев, например при рассмотрении стационарных регулярных и случайных воздействий, нужно рассматривать значения решетчатой функции не только при n0, но и приn< 0. Для таких решетчатых функций используетсядвустороннее D-преобразование, определяемое соотношением



F*(q) = Σ e^-qn f[n] ( 3.5 )

n=-

Если f[n]0 приn< 0, то двустороннееD-преобразование сводится к одностороннему.