4. Методы исследования ДСАУ в плоскости z

Анализ установившейся ошибки ______________________________________________

Анализ установившейся ошибки цифровой системы управления

Для анализа установившейся ошибки цифровых систем управления можно воспользоваться структурной схемой представленной на рис. 1. В данном случае сигнал e(t) определяется как ошибка, т.е. e(t) = r(t) – b(t).

Рис. 1. Цифровая система управления

Поскольку в цифровой системе трудно описать e(t), то обычно используется дискретный сигнал e*(t). Установившаяся ошибка в моменты замыкания определяется как

Воспользовавшись z-преобразованием и теоремой о конечном значении, приходим к выражению

(1)

при условии, что функция (1 — z ^-l)E(z) не имеет полюсов на единичной окружности | z | = 1 или вне ее.

Установившуюся ошибку между моментами замыкания можно найти с помощью модифицированного (или смещенного) z -преобразования и записать

где E(z, т) — модифицированное z-преобразование e(t),

Из теорий линейных непрерывных систем управления известно, что установившаяся ошибка зависит от вида приложенного к системе входного эталонного воздействия, а также от параметров системы. Эти свойства характеризуются коэффициентами ошибки которые можно использовать также в цифровых системах управления.

Для системы, изображенной на рис. 1 z-преобразование сигнала ошибки в виде

Подставляя последнее в выражение ошибки, получим

(2)

Это выражение показывает, что установившаяся ошибка зависит как от входного эталонного сигнала R(z), так и от передаточной функции разомкнутого контура GH(z). Рассмотрим три основных вида входных сигналов:

ступенчатую функцию, линейную функцию и параболическую функцию.

● Установившаяся ошибка при ступенчатой входной функции. Пусть входной сигнал системы, показанной на рис. 1, является ступенчатой функцией величиной R. z-преобразование r(t) равно

(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

, (5)

где (6)

Определим коэффициент ошибки по положению как

тогда (5) примет вид

. (7)

Таким образом, чтобы установившаяся ошибка при ступенчатой входной функции равнялась нулю, коэффициент ошибки по положению Кр должен быть бесконечным. Это означает, что передаточная функция GH(z) должна иметь, по крайней мере, один полюс z = 1. Следует подчеркнуть, что коэффициент ошибки по положению Кр имеет смысл только при ступенчатой входной функции.

● Установившаяся ошибка при линейной входной функции. Для линейной входной функции r(t) = Rtu_s(t) z-преобразование имеет вид

(8)

Подставляя (8) в (2), получим

(9)

Определим коэффициент ошибки по скорости как

(10)

тогда выражение установившейся ошибки (9) примет вид

(11)

Коэффициент ошибки по скорости Кv имеет смысл только тогда, когда входной сигнал системы представляет собой линейную функцию. Выражение (11) действительно только в том случае, если функция, входящая; под знак предела в (2), не имеет полюсов на единичной окружности |z | = 1 или вне ее. Это означает, что замкнутая цифровая система управления должна быть, по крайней мере, асимптотически устойчивой.

Выражение (11) показывает следующее: чтобы при линейной вход. ной функции е*уст равнялась нулю, Кv должен быть равен бесконечности. Как следует из (10), это эквивалентно требованию, чтобы (z - 1)GH(z) имело, по крайней мере, один полюс z = 1 или GH(z) — два таких полюса.

● Установившаяся ошибка при параболической входной функции. Для параболической входной функции r(t) = Rt²u_s(t)/2 z-преобразование имеет вид

(12)

В соответствии с (11) установившаяся ошибка в моменты замыкания определяется как

(13)

или

(14)

Определим коэффициент ошибки по ускорению как

(15)

Тогда выражение установившейся ошибки (14) примет вид

(16)

Аналогично предыдущим случаям коэффициент ошибки по ускорению имеет отношение только к параболической входной функции, а при любых других типах входных сигналов его использовать нельзя.

Приведенный выше анализ показывает, что если эталонный входной сигнал цифровой системы управления является функцией ступенчатого, линейного или параболического типа, то установившаяся ошибка в моменты замыкания зависит соответственно от коэффициентов ошибки по положению, скорости и ускорению: (17)

При необходимости аналогичным образом можно распространить понятие коэффициентов ошибки применительно к выходным функциям более высокого порядка.

● О влиянии квантования на установившуюся ошибку. Квантование обычно отрицательно влияет на переходную функцию и относительную устойчивость системы управления. А как оно влияет на установившуюся ошибку замкнутой системы? Иными словами, если мы имеем непрерывную систему, а затем вводим в нее устройство выборки и хранения, получая тем самым цифровую систему, то каковы будут установившиеся ошибки этих систем при одном и том же типе входного сигнала?

Рассмотрим сначала систему, изображенную на рис. 1, считая, что устройство выборки и хранения в ней отсутствует. Для такой непрерывной системы коэффициенты ошибки по положению, скорости и ускорению, соответственно, определяем следующим образом:

(18)

(19)

(20)

В теории управления принято классифицировать непрерывные системы в зависимости от порядка полюса s = 0 у передаточной функции разомкнутого контура. Если

(21)

где через Т обозначены ненулевые действительные или комплексные константы, то систему относят в типу j. Так, на основании выражений (18), (19) и (20) можно легко прийти к выводу, что, например, система типа 0 будет давать постоянную установившуюся ошибку при ступенчатой входной функции и бесконечную ошибку при входных сигналах более высокого порядка. Система типа 1 (/ = 1) будет давать нулевую установившуюся ошибку при ступенчатом входном сигнале, постоянную ошибку при линейном входном сигнале и бесконечную ошибку при любом воздействии более высокого порядка, и т.д. В табл. 2 приведены значения коэффициентов ошибки для разных типов непрерывных систем управления.

Таблица 2

Тип системы	Kp	Kv	Ka
0	K	0	0
1		K	0
2			K

На основании выражений (17) можно было бы сделать вывод, что для цифровых систем управления коэффициенты ошибки K_v и K_a зависят от периода квантования Т. Поскольку любая цифровая система предполагает наличие непрерывного управляемого процесса, то можно рассматривать передаточную функцию Gp(s)H(s) вида (21). Проведем анализ для случаев / = 0, 1,2.

Система типа 0. Для системы типа 0, когда / = 0, выражение (21) имеет вид

(22)

Подстановка последнего выражения в (6) дает:

(23)

Раскладывая выражение в фигурных скобках на сумму простых дробей, получим

(24)

Важно заметить, что слагаемые, обусловленные ненулевыми полюсами, не содержат в знаменателе член (z — 1). Тогда коэффициент ошибки по положению

(25)

Этот результат показывает, что в случае процесса типа 0 коэффициент ошибки по положению для замкнутой системы с квантователем и фиксатором имеет такое же выражение, как и для непрерывной системы. Следовательно, квантователь и фиксатор не оказывают влияния на установившийся режим систем данного типа.

Подставляя (24) в (17), получим коэффициент ошибки по скорости

(26)

Аналогичным образом Ka = 0 для систем типа 0.

Система типа 1. Для системы типа 1, когда j = 1, выражение (6) принимает вид

Тогда коэффициент ошибки по положению

(27)

Коэффициент ошибки по скорости:

Нетрудно показать, что K_a = 0.

Таким образом, при одной и той же передаточной функции управляемого процесса система типа 1, содержащая квантователь и фиксатор, дает такую же установившуюся ошибку, как и непрерывная система.

Аналогично можно показать, что в случае процесса типа 2 цифровая система управления будет иметь К_р = , K_v =  и K_a = К. Таким образом, значениями коэффициентов ошибки, приведенными в табл. 2, можно воспользоваться и для цифровых систем управления со структурой, показанной на рис. 1. При раскрытии выражений (17) происхо­дит сокращение величины Т, поэтому установившаяся ошибка цифровой системы управления не зависит от периода квантования, а определяется исключительно параметрами непрерывной части системы и видом входно­го воздействия.

Подчеркнем, что если система спроектирована в целях отра­ботки линейно-меняющегося сигнала, то ее реакция на ступенчатое воздей­ствие перестает быть апериодической.

5