3. Дискретные преобразования и их основные свойства.

Z-преобразование_____________________________________________________________

3.2.5. Теоремы z-преобразования

Использование z-отображения может быть существенно облегчено применением теоремz-преобразования.

Теорема 1. Суммирование и вычитание. Еслиf₁(t) иf₂(t) имеютz-преобразованияF₁(z) иF₂(z), то

Z{f₁(t)f₁(t)} =F₁(z)F₂(z). (11)

Теорема 2. Умножение на константу.ЕслиF(z) естьz-преобразованиеf(t), то

Z{a f(t)} = a F₁(z), (12)

где a– константа.

Теорема 3. Сдвиг во временной области.ЕслиF(z) естьz-преобразованиеf(t), то

Z{f(t-nT)} =z^-nF(z); (13)

n-1

Z{f(t+nT) =zⁿ[F(z) –Σ f(kT)z^-k] (14)

k=0

Пример 7. Найдем z-преобразование единичной ступенчатой функции при задержке её на один период квантования Т. Используем теорему о сдвиге во временной области:

Z{u_s(t –T)} = z^-1 Z{u_s(t)} = z^-1z/(z – 1) = 1/(z – 1)

Теорема 4. Умножение оригинала на экспоненту ( смещение в области изображений).ЕслиF(z) естьz-преобразованиеf(t), то

Z{e^aTf(t)} = [F(sa)] |z=e^sT = F(ze^aT),

где а – константа.

Пример 8. Найдем z-преобразование функции f(t) = e^-aTsint:

Из таблицы z-преобразования для этой функции найдем:

z e^-aTsinT

Z{ e^-aTsint } = ——————————

z² – 2z e^-aTcosT + e^-2aT

а для sint

z sinT

Z{sint } = ————————

z² – 2z cosT + 1

очевидно, что подстановкой в последнее выражение вместо z значения ze^aT может быть получено выражение для Z{ e^-aTsint }.

Теорема 5. Теорема о начальном значении. Если f(z) есть z-преобразование f(t) и существует предел

limF(z), то

z

lim f[kT] = lim F(z). (15)

k0 z

Теорема 6. Теорема о конечном значении. Если F(z) есть z-преобразование f(t) и если функция (1 – z^-1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса |z| = 1 или вне её на z-плоскости, то

lim f[kT] = lim (1 – z^-1)F(z). (16)

k z1

Пример 9. Определить конечное значение f(kT) для заданного преобразования:

0.792z²

F(z) = ————————————

(z – 1)(z² – 0.416z + 0.208)

Для решения нужно применить теорему о конечном значении, так как функция

0.792z²

F(z) = ————————————

(z – 1)(z² – 0.416z + 0.208)

не имеет полюсов на единичной окружности |z| = 1 или вне её. Следовательно, в соответствии с (16) получаем:

0.792z²

lim f(kT) = lim ————————— = 1

k z1 z² – 0.416z + 0.208

Полученный результат можно проверить разложением F(z) в ряд по степеням z^-1:

F(z) = 0.792z^-1+1.12z^-2+1.091z^-3+1.01z^-4+0.983z^-5+0.989z^-6+0.99z^-7+…

Видно, что последовательность значений коэффициентов ряда быстро сходится к установившемуся значению, равному единице.

Теорема 7. Теорема о свертке во временной области.Еслиf₁(t) иf₂(t) имеютz-преобразованияF₁(z) иF₂(z) соответственно иf₁(t) =f₂(t) = 0 дляt< 0, то

k

F₁(z)F₂(z) =Z{Σ f₁(nT)f₂(kT-nT)} (17)

n=0

3.2.6. Ограничения метода z-преобразования

В предыдущих параграфах было показано, что метод z-преобразования является удобным средством анализа линейных цифровых систем. Однако методуz-преобразования присущи ограничения, и в некоторых случаях необходимо проявлять осторожность при его применении и ин­терпретации полученных результатов.

При применении z-преобразования надо учитывать следующие сообра­жения.

1.z-Преобразование базируется на предположении, что квантованный сигнал представляет собой последовательности импульсов, площадь кото­рых равна амплитуде входного сигнала квантователя в дискретные мо­менты времени. Это предположение справедливо только в том случае, если время квантования намного меньше определяющей постоянной времени системы.

2.z-Преобразование выходного сигнала линейной системы С(z) определяет значения временной функции с(t) только в моменты кванто­вания; С(z) не содержит информации о значениях с(t) между моментами квантования. Следовательно, для заданной функции С(z) ее обратноеz-преобразованиеc(kT) описывает с(t) только в моменты квантованияt=kT.

3.При анализе линейной системы методамиz-преобразования переда­точная функция непрерывной системыW(s) должна иметь полюсов, по крайней мере, на один больше, чем нулей; эквивалентным требованием является отсутствие разрыва импульсной переходной функции дляW(s) приt= 0. В противном случае процессы в системе, полученные с помощью методаz-преобразования, могут быть ошибочными.

При полном описании любой системы почти всегда требуется знать характер процессов между моментами квантования. На основе z-преобра­зования разработано несколько методов, позволяющих определять значе­ния переходных процессов в цифровых системах между моментами кванто­вания. Из них наиболее известны методы модифицированногоz-преобразования и дробного квантования.