лекции / Лекции дсау / ДСАУ 3_3

3. Дискретные преобразования и их основные свойства.

w-преобразование_____________________________________________________________

3.3. w-преобразование

При исследовании и проектировании непрерывных систем получили широкое распространение логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), так как они могут быть построены значительно проще, чем годографы. Однако непосредственно построение ЛЧХ по амплитудно-фазовой частотной характеристике импульсной системы W*(j) не может быть выполнено теми же приемами, что и построение ЛЧХ непрерывной системы. Это связано с тем, что W*(j) не является дробно-рациональной функцией по отношению к j и, кроме того, переменная  меняется на конечном интервале -j_s   < j_s. Для того чтобы использовать обычную методику построения ЛЧХ, нужно выполнить отображение отрезка мнимой оси -j_s   < j_s на всю мнимую ось, причем так, чтобы функция W(j) стала дробно-рациональной. Указанное отображение выполняется с помощью функции

2 e^q – 1 2 z - 1

w =   =   ( 1 )

T e^q + 1 T z + 1

и называется w-преобразованием. Иногда в формуле w-преобразования не вводится множитель 2/T. Для того чтобы отличить рассматриваемый случай (1), его на­зывают также модифицированным w-преобразованием.

w-преобразование можно представить себе как после­довательное преобразование сначала переменной q в пе­ременную z == e^q, а затем преобразование переменной z

в переменную w. Первое преобразование ото­бражает отрезок мнимой оси длиной 2л в окружность единичного радиуса z = e^j. Второе преобразование является дробно-линейным. Оно является взаимно однозначным во всех точках плоскости комплексной переменной z, за исключением точки z = -1. Единичная окружность |z| = 1, проходящая через эту точку, отображается в прямую, совпадающую с мнимой осью плоскости w. Учитывая подстановку z = esT, где s = σ + jω получаем

2 e^jT – 1 2 sin T 2 ωT

w =   =  j  =  j tg = j ( 2 )

T e^jT + 1 T 1 + cos T T 2

где  - представляет собой относительную псевдочастоту. Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту ω*, которую определяют как

2 ωT 2

ω* =  tg  =  ( 3 )

T 2 T

ωT ωT

При малых частотах tg  ≈  и псевдочастота ω* ≈ ω.

2 2

Поэтому при выполнении условия ωT < 2 можно в расчетах заменить псевдочатоту действительной круговой частой.

Рассмотрим отображение одной из точек плоскости z на плоскость w, а именно точки z = 0: w = -2/T. С учетом свойств дробно-линейных преобразований отсюда следует, что внутренность единичного круга плоскости z отображается на левую полуплоскость переменной w, а внешность единичного круга – на правую полуплоскость w. Заметим, что бесконечно удаленная точка плоскости z переходит в точку w = 2/T, расположенную в правой полуплоскости:

10