3.1.2. Обратное d-преобразование

Прямое D-преобразование решает задачу определения изображенияF*(q) илиF*(q,ε) по оригиналуf[n] илиf[n,ε]. Решение обратной задачи сводится к определению оригиналаf[n] илиf[n,ε] по изображениюF*(q) илиF*(q,ε). Преобразование изображения в оригинал называетсяобратным D-преобразованием, или краткоD^-1-преобразованием. Известны выражения, называемыеформулами обращения, для нахождения несмещенных и смещенных решетчатых функций по их изображениям (см. формулы (3.5) и (3.6)).

	(3.6)
	(3.7)

Обратное двустороннее D-преобразование может быть определено таким же путем, как и одностороннееD^-1-преобразование:

(3.8)

На практике формулами (3.1), (3.2) и (3.6), (3.7) пользоваться не удобно, поэтому используются специальные таблицы дискретного преобразования Лапласа (см., например табл. 3.1)

Оригиналы и их изображения для дискретного преобразования Лапласа Таблица 3.

№	оригинал	изображение	№	оригинал	Изображение
1	1[n]		7
2	ean		8
3			9
4			10	nean
5	n		11
6	n2		12

3.1.3. Основные теоремы и правила d-преобразования

Важную роль при использовании дискретного преобразования Лапласа играют правила и теоремы, которые устанавливают соответствие между операциями, производимыми в области оригиналов и изображений. Эти правила и теоремы дают возможность весьма просто, минуя непосредственное суммирование, которое зачастую оказывается затруднительным, найти изображение многих решетчатых функций. Кроме того, они позволяют применить дискретное преобразование Лапласа к решению разностных уравнений и к исследованию установившихся и переходных процессов в импульсных системах.

Теорема 1.Линейность оригиналов и изображений

Если для решетчатых функций f_[n] , где= 1, 2, … определены их изображения

D{f_[n]} = F*_(q),

то для решетчатой функции

k

f[n] = Σ a_f_[n]

=1

изображение F*(q) может быть найдено как

k

F*(q) = Σ a_F*_(q). ( 3.9 )

=1

Пример 1.

Пусть Так как, то на основании теоремы 1 имеем

учитывая, что e^q

D{e^αn} = ——— ,

e^q-e^α

получаем

Теорема 2.Смещение аргумента в области оригиналов (теорема сдвига).

 Пусть D{f[n]} =F*(q). Тогда

k-1

D{f[n+k]} = e^qk [F*(q) - Σ e^-qr f [r]] (3.10) r=1

В частном случае, если f[0] =f[1] = … =f[k-1] = 0, то

D{f[n+k]} =e^qk F*(q). (3.11)

 Для решетчатой функции f[n-k] справедливо следующее соотношение:

k

D{f[n-k]} =e^-qk [F*(q) +Σe^qrf[-r]](3.12) r=1

В частном случае, когда f[-1] =f[-2] = … =f[-k] = 0, получаем:

D{f[n-k]} =e^-qk F*(q). (3.13)

Пример 2. Найти изображение запаздывающей постоянной решетчатой функции

f{n} = 1[n-k], f[n]  0 при n< k.

Принимая во внимание, что

e^q

D{1[n] } = ——— ,

e^q- 1

согласно теореме смещения аргумента получаем

e^q 1

D{1[n-k]} =e^-qk ——— = ——————,

e^q – 1 (e^q – 1) e^q(k-1)

при k=1 имеем

1

D{1[n-1]} = ———.

e^q – 1

Теорема 3.Смещение независимого переменного в области изображения (теорема смещения).

F*(q) = D{e^nf[n]}. (3.14)

Теорема смещения является теоремой двойственности для теоремы сдвига. В этих теоремах операции в области оригиналов и изображений поменялись местами.

Пример 3. Найдем изображение решетчатой функции f[n] =e^nshn

Воспользовавшись изображением sh n, получаем на основании теоремы смещения:

Теорема 3.Изображение разностей.

Для первой разности решетчатой функции

Δf[n] = f[n+1] – f[n]

на основании теорем линейности и сдвига получаем

D{Δf[n]} = (e^q– 1)F*(q) -e^q f[0] (3.15)

Для второй разности решетчатой функции

Δ²f[n] = Δf[n+1] – Δf[n]

На основании теоремы сдвига и соотношения (3.15) после преобразования получаем

D{Δ²f[n]} = (e^q– 1)²F*(q) -e^q (e^q-1)f[0] -e^qΔf[0] (3.16)

Для k-ой разности решетчатой функции получается следующее выражение:

k-1

D{ Δ^kf[n]} = (e^q– 1)^kF*(q) +e^q Σ(e^q– 1)^k-1-rΔ^rf[0] (3.17)r=1

Здесь нужно считать Δ⁰f[0] =f[0].

Пример 4. Найдем изображение первой разности экспоненциальной решетчатой функции f[n] =e^n.По формуле (3.15) получаем:

e^q e^q(e^ – 1)

D{e^n} = (e^q –1) ———— - e^-q = ————.

e^q – e^ e^q – e^

Теорема 4.Изображение суммы

Рассмотрим функцию, определяющую сумму решетчатой функции:

n-1

f[n] = Σ f[m]

m=0

Изображение разности функции f[n] в соответствии с предыдущей теоремой равно:

n-1 n-1

D{ Σ f[m] } = D{f[n]} = (e^q -1) D{ Σ f[m] },

m=0 m=0

так как значение суммы при n= 0 равно нулю. Следовательно, изображение от суммы решетчатой функцииf[m] определяется как

n-1 F*(q)

D{Σ f[m] } = ———. (3.18)

m=0 e^q– 1

Пример 5. Найдем оригинал, соответствующий изображению

e^q

F*(q) = ———————.

(e^q – 1)(e^q – e^)

замечая, что

e^q

F*(q) = ——— = D{ e^n},

(e^q–e^)

находим согласно теореме о сумме решетчатой функции

F*(q) n-1

——— = D{Σ e^m }.

e^q– 1m=0

Но

n-1 e^n -1

Σ e^m = ——— ,

m=0 e^-1

следовательно,

e^q 1 - e^n

F*(q) = ——————— = D{ ——— }.

(e^q – 1)(e^q – e^) 1 - e^

Найденная решетчатая функция показана на рис. 3.4 для  = -0,5 и  = 0,5.

Рис. 3.4. Решетчатая функция в примере 5.

Примеры применения теорем об изображении разностей и сумм показывают, что множитель (е^q—1)в дискретном преобразовании Лапласа играет роль параметра преобразования q или s в обычном преобразовании Лапласа,и устанавливают связь формального операторного метода в теории разностных уравнений с дискретным преобразованием Лапласа.

Эти свойства наряду с теоремой сдвига лежат в основе метода решения линейных разностных уравнений.

Теорема 5.Умножение изображений (теорема свертывания в вещественной области).

Эта теорема является одной из наиболее важных для приложений теорем. Она дает возможность найти оригинал произведения изображений, если известны оригиналы сомножителей.

Пусть

Образуем произведение

Произведя перемножение рядов в правой части равенства при Req>_c, где_c- наибольшая из абсцисс сходимости, получим:

так как при n<mрешетчатые функции равны нулю.

Согласно определению D-преобразования получаем

(3.19)

Эти формулы называются формулами свертывания в вещественной области.

Теорема 6.Конечное значение решетчатой функции (теорема о конечном значении). Теорема устанавливает соотношение между изображением и конечным значением решетчатой функции.

Для несмещенной решетчатой функции справедливо следующее соотношение:

lim f[n] = lim (e^q – 1)F*(q). (3.20)

n q0

аналогично для смещенной решетчатой функции:

lim f[n,] = lim (e^q – 1)F*(q,). (3.21)

n q0

Пример 6.

Пример 7.

Теорема 7.Начальное значение решетчатой функции (теорема о начальном значении).

Для несмещенной решетчатой функции справедливо следующее соотношение:

f[0] = lim f[n] = lim (1 - e^-q)F*(q) = lim F*(q), (3.22)

n0 q q

аналогичное соотношение для смещенной решетчатой функции:

f[0,] = lim F*(q,). (3.21)

q

Пример 8.

Из теоремы о начальном значении следует, что если изображение F*(q) правильно, т. е. степень числителя меньше степени знаменателя, то

f[0] = lim F*(q) = 0.

q

Иными словами, решетчатая функция, соответствующая правильному изображению, равна нулю в начальный момент времени.

Установленные правила и теоремы являются основой D-преобразования. Ценность их состоит не только в том, что при их помощи можно увеличить количество соответствий между оригиналами и изображениями, но и в том, что используя их, можно исследовать свойства оригиналов при помощи изображений, получение которых для многих задач не представляет никаких трудностей.