3.1.4. Связь между изображениями непрерывной функции и соответствующей ей решетчатой функции. D-преобразование

В этом разделе будет указана связь между изображениями решетчатой и соответствующей ей непрерывной функций. Эта связь дает возможность по изображениям обычного преобразования Лапласа определить изображение дискретного преобразования Лапласа и обратно, а также установить соответствие операций над этими изображениями.

Рассмотрим непрерывную функцию f_T(T) =f()аргумента=t/T, определенную в интервале 0 <<. Изображение этой функции в смысле непрерывного преобразования Лапласа равно



F(q) = L{f()} = ∫ e^-s f()d , ( 3.22 )

0

где q=sT– параметр преобразования и

1 q

F(q) = — F_T(—).

TT

Смещенная решетчатая функция f[n,ε] =f(n+ε) получается из непрерывной функцииf() заменой в последней переменнойнаn+ε. Дискреты смещенной решетчатой функции сдвинуты по отношению кf[n,0] =f[n] при ε > 0 вправо. Изображение этой смещенной решетчатой функции в смыслеD-преобразования равно



F*(q, ε) =D{f[n, ε ]} =Σe^-qn f[n, ε],

n=0

где ε рассматривается как параметр. В частности, при ε = 0 получаем



F*(q, 0) =D{f[n, 0]} =Σe^-qn f[n, 0],

n=0

или проще:



F*(q) =D{f[n]} =Σe^-qn f[n].

n=0

Связь между изображением решетчатой функции F*(q, ε) и изображениемF(q) соответствующей непрерывной функции определяется соотношением



F*(q, ε) =Σe^(q+2πjr)ε F(q+2πjr), (3.33)

r = -

где ε изменяется в интервале 0 < ε 1.

При ε =0 соотношение (3.33) принимает вид

1 

F*(q) = —f[0] +ΣF(q+2πjr), (3.34)

2 r = -

То обстоятельство, что из соотношения (3.33) не следует соотношение (3.34) при ε = 0, если только f[0]0, связано с известным свойством рядов Фурье, состоящим в том, что сумма ряда Фурье в точке разрыва первого рода равна среднему арифметическому значению функции справа и слева от точки разрыва.

Соотношения (3.33) и (3.34) позволяют по изображению F(q) непрерывной функцииf(t) найти изображениеF*(q, ε) соответствующей решетчатой функцииf[n, ε] при любом фиксированном значении ε. Соотношения (3.33) или (3.34), связывающие изображения непрерывной и решетчатой функций, можно рассматривать как преобразование, устанавливающее соответствие между этими изображениями.

Обозначив операцию этого преобразования через D{F(q)} запишем (3.33) в виде



F*(q, ε) =D{F(q)} =Σe^(q+2πjr)ε F(q+2πjr), (3.35)r = -

Выражение (3.35) определяет прямое D-преобразование.D-преобразование иD-преобразование связаны между собой соотношением

D{f[n, ε] } =D{L{f()}}.

Пример 9. Рассмотрим единичную ступенчатую функцию f() = 1(). Её изображение

согласно (3.34) получаем

С другой стороны, известно, что

Следовательно,

Последний результат совпадает с результатом, полученным в примере №1 раздела 3.1.1.

Рассмотрим теперь вопрос об установлении физического смысла D-преобразования. Для этого от изображений перейдем к спектрам непрерывнойF(j) и решетчатойF(j,) функций. Имеем следующее соотношение:

для = 0 имеем также

Из последнего соотношения следует, что спектр F(j) решетчатой функцииf[n] равен с точностью до постоянного слагаемого 1/2f[0] сумме спектров соответствующей непрерывной функции, смещенных по оси частот на величины 2r, гдеrизменяется от -до +.

10