4. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Например, за колебаниями урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры в отдельные годы тенденция роста (уменьшения) урожайности может не просматриваться непосредственно, и поэтому должна быть выявлена статистическими методами.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. В этом случае для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, который основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один и уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средней уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Покажем расчет 5-летней и 4-летней скользящей средней на примере данных таб. 9.6.

Таблица 9.6

Сглаживание урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1980-1995 гг. Методом скользящей средней

Годы	Центнеров с га	Скользящие пятилетние суммы	Пятилетние скользящие средние	Скользящие четырехлетние суммы	Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные)	Четырехлетние скользящие средние (центрированные)
А	1	2	3	4	5	6
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995	9,5 13,7 12,1 14,0 13,2 15,6 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9	- - - - 63,5 68,6 70,3 72,2 75,8 78,0 73,5 75,4 76,4 77,3 76,1 80,1	- - 12,5 13,7 14,1 14,4 15,2 15,6 14,7 15,1 15,3 15,5 15,2 16,0 - -	- - - 49,3 53,0 54,9 58,2 58,2 62,6 62,4 57,9 61,4 58,8 61,9 65,2 62,6	- - 12,3 13,2 13,7 14,6 14,6 15,7 15,6 14,5 15,3 14,7 15,5 16,3 15,65 -	- - 12,8 13,5 14,1 14,6 15,1 15,6 15,0 14,9 15,0 15,1 15,8 15,97 - -

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени - y=f(t).

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени

полином второй степени

полином третьей степени

полином n-ой степени

Здесь а₀; а₁; а₂; ... а_n - параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр а₀ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры а₁, а₂, а₃ - как изменения ускорения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов.

Суть данного метода изложена в главе 8.

Согласно этому методу, для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений:

(9.16)

где n - число членов в ряду динамики: t=1,2,...,n

Система 9.16, состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин , то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 0,1,2,...,р и неизвестных величин a_j. Решение этой системы относительно a₀, a₁,...,a_p и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а₀, а₁, а₂. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид:

(9.17)

для параболы второго порядка (y_t=a₀+a₁t+a₂t²):

(9.18)

Решение системы (9.17) относительно искомых параметров а₀ и а₁ дает:

В статической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,...,n, то после переноса t=...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,..., если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное, то t=...,-5,-3,-1,1,3,5,... Следовательно, t и все t^p у которых «р»  нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие t с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

(9.19)

для параболы второго порядка:

(9.20)

Решая системы (9.19), (9.20) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр а₁ выражает начальную скорость роста, а коэффициент а₂ - постоянную скорость изменения прироста.

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (y_t=a₀a₁^t) для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

(9.21)

Если t=0, то параметры уравнения lga₀ и lga₁ находим по формулам: ; .

Рассмотрим следующий пример. Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1981-1995 гг. по следующим данным (см. табл. 9.7).

Начнем определение тенденции с самого простого полинома-уравнение прямой (9.19). Решая систему нормальных уравнений, получим искомые параметры: a₀=14,8; a₁=0,17, а само уравнение запишется следующим образом что выражает тенденцию динамики урожайности зерновых культур в 1981-1995 гг., т.е. в течение исследуемого периода урожайность зерновых культур в хозяйстве увеличивалась в среднем на 0,17 ц. с га в год.

Таблица 9.7

Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве

и определение параметров уравнения методом наименьших квадратов

Годы	Урожайность ц. с га (у)	t	t2	yit	yt
1981	13,7	-7	49	-95,5	13,6
1982	12,1	-6	36	-72,6	13,8
1983	14,0	-5	25	-70,0	13,9
1984	13,2	-4	16	-52,8	14,1
1985	15,6	-3	9	-46,8	14,3
1986	15,4	-2	4	-30,8	14,5
1987	14,0	-1	1	-14,0	14,6
1988	17,6	0	0	0	14,8
1989	15,4	1	1	15,4	15,0
1990	10,9	2	4	21,8	15,1
1991	17,5	3	9	52,5	15,3
1992	15,0	4	16	60,0	15,5
1993	18,5	5	25	92,5	15,7
1994	14,2	6	36	85,2	15,8
1995	14,9	7	49	104,3	16,0
Итого	222,0	0	280	48,8	222,0