РГР / metodicheskie_ukazaniya_zadaniya_dlya_individualnoy_raboty

2) дополняют столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами с последовательно возрастающими, а вниз – с последовательно убывающими индексами;

3) на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше 0,

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости САУ по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и имеют широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высоких порядков, а также имеют простую геометрическую интерпретацию. К этой группе относятся критерии Михайлова и Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать так: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞, начинался при ω = 0 на вещественной положительной полуоси и обходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n - порядок характеристического уравнения, не обращаясь при этом в нуль.

Годографы кривой Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ для устойчивых систем при различных значениях n приведены на рис. 5.2.

41

критической точкой и ближайшей точкой пересечения годографа Wрк( jω)

сдействительной осью (рис. 5.3,а).

Вслучае клювообразной АФЧХ запас устойчивости по модулю

Wрк( jω) с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и отрицательной частью действительной оси.

Рис. 5.3

43

В большинстве систем увеличение передаточного коэффициента kрк

выше его критического значения kкр приводит к нарушению устойчивости, а

его уменьшение ниже критического значения - к стабилизации системы. В системах с клювообразными характеристиками при увеличении передаточного коэффициента выше его критического значения система

системы.

Предельное значение передаточного коэффициента разомкнутого контура системы зависит от соотношения постоянных времени отдельных звеньев и не зависит от их абсолютных значений.

Пример 5.1.

САУ описывается уравнением второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид: a0 p2 +a1 p +a2 = 0 . Определить условие устойчивости САУ по Гурвицу.

Решение.

Составим в соответствии с (5.10) главный определитель Гурвица:

Поскольку a1 > 0 , то для выполнения условия 2 > 0 , коэффициент

a2 также должен быть больше нуля. Таким образом, для устойчивости системы второго порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.

44

Пример 5.2.

Проверить устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста при следующих параметрах объекта управления и И-регулятора: kо = 0, 26,

Tо = 0,1 c ,ξ = 0, 45, kи = 20.

Решение.

Запишем частотную функцию разомкнутого контура системы Wр( jω)

в алгебраическом виде:

Полученная зависимость позволяет построить годограф Wр( jω)

(рис.5.4).

Рис. 5.4

Как видно из рисунка годограф Wр( jω) не охватывает точку [ −1; j0 ],

пересекая ось абсцисс в точке [0,58; j0 ], что свидетельствует о достаточных запасах устойчивости: γ = 470 и h = 4,76 дБ.

45

Контрольные вопросы

1.Объясните понятие "устойчивость САУ".

2.Что значит "устойчивость в малом" и "устойчивость в большом"?

3.Почему при исследовании устойчивости САУ достаточно знать только однородное дифференциональное уравнение?

4.В чем состоят недостатки анализа устойчивости по корням характеристического уравнения?

5.Перечислите критерии устойчивости и укажите их особенности.

6.Что такое годограф Михайлова?

7.Что такое предельный передаточный коэффициент?

8.Как связано расположение корней характеристического уравнения с устойчивостью системы?

46

6. Качество САУ

Точность работы САУ в установившихся режимах. Метод коэффициентов ошибок. Точность работы САУ в переходных режимах.

Кроме обеспечения требования устойчивости САУ должна обладать определенным качеством, под которым понимается точность процесса управления. Количественной оценкой точности служит величина ошибки

δ(t) , определяемая разностью между заданным и фактическим значениями управляемой величины:

з

При этом различают две функции САУ:

-воспроизведение задающего воздействия;

-подавление (компенсация) возмущений.

Из-за инерционностей системы обе перечисленные функции всегда выполняются с некоторой погрешностью, т.е. обычно δ(t) ≠ 0 .

Величина ошибки δ(t) определяется как свойствами системы, так и видом входных воздействий. Для оценки установившихся режимов САУ используются следующие типовые законы изменения входных воздействий:

- неизменность задающего и возмущающего воздействий, т.е.

47

Анализ точности работы САУ в сложных установившихся режимах удобно производить на основе т.н. метода коэффициентов ошибок. Этот метод основывается на приближенной замене передаточной функции по

Точность работы в переходных режимах определяется совокупностью отдельных мгновенных значений ошибки δ(t) . С целью стандартизации

показателей качества в этом случае принято использовать переходные

характеристики по каналу задания и каналу возмущения при

подаче на соответствующие входы типовых сигналов вида 1(t) , которые в обобщенном виде характеризуют значения δ(t) .

Показатели качества, в зависимости от способа их определения,

разделяются на прямые и косвенные.

При самой общей оценке качества, прежде всего, обращают внимание на форму переходного процесса. Различают следующие типы переходных процессов (см. рис. 6.1): колебательные (1); апериодические (2); монотонные

(3).

Рис. 6.1:

а) переходные характеристики; б) импульсные переходные характеристики

48

Наибольшее количество прямых показателей введено для характеристики качества колебательного процесса по каналу задания. (см.

рис. 6.2).

Рис. 6.2

К основным показателям характеристики h(t) относятся перерегулирование σ и время регулирования tр.

Перерегулирование σ определяется максимальным отклонением управляемой величины от ее установившегося значения h(∞) , выраженном в % к h(∞) :

Этот показатель характеризует скорость протекания переходного процесса. Косвенные показатели качества определяются без построения

переходных процессов и подразделяются на несколько групп:

-корневые показатели;

-частотные показатели;

49

- интегральные показатели.

Основное влияние на длительность переходных процессов оказывают корни, расположенные ближе других к мнимой оси, т.к. они дают наиболее медленно затухающие составляющие. Действительная часть такого корня называется степенью устойчивости α .

Основное влияние на колебательные свойства переходных процессов оказывает пара комплексно сопряженных корней, для которых отношение является наибольшим. Величину μ называют

колебательностью САУ.

О качестве САУ можно судить, воспользовавшись действительной частью функции W ( jω ) . Дело в том, что в случае единичного

ступенчатого воздействия и нулевых начальных условиях между переходной характеристикой и частотной передаточной функцией системы существует однозначная связь при помощи преобразования Фурье:

Показатель колебательности характеризует склонность системы к колебаниям.

Резонансная частота ωр - частота, при которой АЧХ системы

имеет экстремум. Гармонические колебания, имеющие частоту ω =ωр,

проходят через САУ с наибольшим усилением.

50