Практична робота №1

Тема: Використання методу найменших квадратів для створення моделі і її дослідження.

Мета: Закріпити навички використання методу найменших квадратів.

Теоретичні відомості.

Для досягнення поставленої мети необхідно визначити функціональну залежність за допомогою точкової апроксимації функції f(x).

Дана вибірка значень функції f(x) де x_i (i=1,n).

Необхідно підібрати функцію (x)=c₀₀+ c₁₁+…+ c_mm , що зветься загальним поліномом, таким чином щоб :

Відомо, що якщо система функцій — лінійно незалежна, то існує многочлен Ф_m і він є єдиним. Так як узагальнений поліном _m(х) залежить від параметрів С_1, С_2,…С_m то рівняння (1) можна подати у вигляді :

Функціонал S є позитивним, тому min S існує і причому єдиний. Використовуючи необхідні умови екстремуму функцій кількох змінних отримаємо нормальну систему рівнянь для визначення коефіцієнту С:

Хід роботи.

1. Визначимо місце для застосування даного методу аналізу:

Розглянемо задачу прогнозування, яка передбачає визначення урожайності сільськогосподарської культури на 1997 рік, маючи дані про попередні урожайності з 1990 по 1996 роки.

2. Побудуємо таблицю, яка описує задачу:

Рік	Урожайність картоплі
	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Урожайність	117	95	119	137	105	96	119

Дані наведені в таблиці приведено у додатку А.

Треба визначити скільки буде зібрано урожаю у 1997 році (на основі даних, поданих в таблиці).

Задаємо функція залежності:

1. Записуємо функцію S.

2. Обрахуємо вираз.

3.Знайдемо частинні похідні:

Знаходимо частинні похідні по .

2. Складаємо систему і знаходимо коефіцієнти:

>> a=[7 28 140;28 140 784;140 784 4676]

a =

7 28 140

28 140 784

140 784 4676

>> b=[788; 3146; 15672]

>> x=a\b

x =

107.5749

3.6882

-0.4878

С₀=107.7143

С₁= 3.5952

С₂= -0.4762

Таким чином модель набуває вигляду:

Q = 107. 7143+ 3. 5952* t -0. 4762* t² ;

2. Розрахуємо значення Q в точці

Q₁₌107.7143+ 3.5952* 1 -0.4762*(1)² =110.8333;

Q₂₌107.7143+ 3.5952* 2 -0.4762*(2)² =113.0000;

Q₃₌107.7143+ 3.5952* 3 -0.4762*(3)² =114.2143;

Q₄₌107.7143+ 3.5952* 4 -0.4762*(4)² =114.4762;

Q₅₌107.7143+ 3.5952* 5 -0.4762*(5)² =113.7857;

Q₆₌107.7143+ 3.5952* 6 -0.4762*(6)² =112.1429;

Q₇₌107.7143+ 3.5952* 7 -0.4762*(7)² =109.5476;

5. Знайдемо Q за 1997 рік:

Обрахуємо похибку(рівень апрокимації) за формулою:

, де

Q = 107. 7143+ 3. 5952* 8 -0. 4762* (8)² = 106;

Отже врожайність на 1997 рік буде дорівнювати 106. Якщо звірити з даними поданими у додатку А, то можна побачити, що модель обрана правильно і обрахунок отримано точно.

Висновок:

У процесі виконання роботи були використані реальні статистичні дані і отримана на основі них таблиця деяких залежностей. Було поставлено задачу на основі табличних даних побудувати одно кроковий прогноз за допомогою методу найменших квадратів.

Необхідно було знайти таку формулу, яка виражала б залежність аналітично. Одним із підходів до вирішення задачі є побудова інтерполяційного многочлена, значення якого в точках х₁, х₂, .. , х_n будуть співпадати з відповідними значеннями функції. Проте беззаперечне спів падання значень є неоправданим, якщо значення функції відомі з деякою похибкою. Тому з самого початку треба враховувати характер початкової функції, а це значить, що функція має бути заданого виду: y=F(x), яка в точках х₁, х₂, .. , х_n приймає значення як можна найближчі до табличних y₁, y₂, .. , y_n. Від того яка була вибрана функція і буде залежати точність прогнозу.

Даний метод використовується для обробки статистичних даних.