РГР / kontr_TS

Задание 1.

Характеристическое уравнение замкнутой автоматической системы имеет вид

0,005p⁶ + 0,1p⁵ + 2,5p⁴ + 20p³ + 50p² + 60p + 150 = 0

C помощью критерия Рауса определить устойчивость данной системы.

Решение.

Критерий Рауса формулируется так:

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все величины (элементы) первого столбца таблицы Рауса были положительными при положительном коэффициенте а_п характеристического уравнения.

Значения	№ стр	Номер столбца
		I	II	III	IV
	1	0,005	2,5	50	150
	2	0.1	20	60	0
r0=	3	c13= 2,5-0,05*20=1,5	c23= 50-0,05*60=47	c33= 150	0
r1=	4	c14= 20-0,067*47=16,85	c24= 60-0,067*150=49,95	0	0
r2=	5	c15= 47-0,089*49,95=42,55	c25= 150	0	0
r3=	6	c16= 49,95-0,4*150= -10,05	0	0	0
r4=	7	c17= 150	0	0	0

Ответ:

Так как не все величины первого столбца таблицы положительные (c₁₆ = -10,05), то эта система будет неустойчивой.

Задание 2.

Характеристическое уравнение системы имеет вид

20p³ + 25p² + 10p + 10 = 0

C помощью критерия Гурвица определить устойчивость данной системы.

Решение.

Составим таблицу Гурвица.

25	10	0
20	10	0
0	25	10

Определитель ₁ = 25 > 0

Определитель

	25	10
			=25*10 - 20*10 = 50 > 0
	20	10

Определитель

	25	10	0
3 =	20	10	0	= 25*10*10 - 20*10*10 = 500>0
	0	25	10

Критерий Гурвица формулируется следующем образом:

Система устойчива, если и все определители Гурвица больше нуля, т.е. , где .

Ответ:

Так как определители >0, то данная система устойчива.

Задание 3.

C помощью критерия Михайлова определить устойчивость системы, Характеристическое уравнение которой имеет вид.

3*10^-4p⁵ + 5*10^-3p⁴ + 0,1p³ + 0,5p² + 0,9p + 1 = 0

Решение.

Kритерий Михайлова можно сформулировать так:

Вектор кривой Михайлова D(jω) устойчивой системы при изменении w от 0 до 00, начав своё движение на вещественной положительной (т.е. в порядке 1-2-3-4-1….) n квадрантов координатной плоскости.

Функция D(jω) на комплексной плоскости изображается вектором, начало которого расположено в точке 0, а конец определяется координатами U(ω) и V(ω).

C увеличением w модуль (длина) и фаза вектора изменяется и конец его описывает кривую, называемую годографом Михайлова (кривой Михайлова).

D(p) = 3*10^-4p⁵ + 5*10^-3p⁴ + 0,1p³ + 0,5p² + 0,9p + 1

Заменив p= jω получим функцию:

D(jω) = 3*10^-4(jω) ⁵ + 5*10^-3(jω) ⁴ + 0,1(jω) ³ + 0,5(jω) ² + 0,9(jω) + 1

Для построения кривой Михайлова определяем вещественную U(ω) и мнимую V(ω) части функции D(jω):

U(ω) = 1 - 0,5ω ² + 5*10^-3ω ⁴

V(ω) = 0,9 - 0,1ω ³ + 3*10^-4ω ⁵

Вычислим U(ω) и V(ω) для ряда значений частоты ω. Результаты вычислений сведём в таблицу:

ω	0	5	10	12	15	18	20
U	1	-8,4	1	32,7	141,6	363,8	601	+
V	0,9	-10,7	-69,1	-97,2	-108,8	-15,4	161,9	+

jV(w)

U(w)

Ответ:

Система устойчива, т.к. кривая Михайлова последовательно проходит через пять квадрант в положительном направлении.