РГР / metodicheskie_ukazaniya_zadaniya_dlya_individualnoy_raboty

График зависимости L(ω) = 20lg A(ω) , построенный в

логарифмическом масштабе частот, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

График зависимости фазовой частотной функции ϕ(ω) от логарифма частоты lgω называется логарифмической фазовой частотной

характеристикой ЛФЧХ.

Возможные соотношения между характеристиками САУ представлены в таблице 3.1.

Пример 3.1.

САУ описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

31

Ty′(t) + y(t) = kx(t) ,

где: T = 0,5 с, k = 4 .

Определить временную характеристику h(t) .

Решение.

Имеем характеристическое уравнение:

Tp +1 = 0 .

Его единственный корень p = −1T . Следовательно: hс (t ) = C1e pt = C1e(− 1T )t .

Вынужденную составляющую hв(t) будем искать в виде hв(t) =C2 .

Подставив это решение в исходное уравнение, получим C2 = k . Тогда: h(t) = C1e(− 1T )t + k .

Используем начальное условие h(0) = 0 . Для этого запишем уравнение:

h(0) = 0 =C1 +k .

Откуда C1 = −k . Окончательно получим:

h(t) = k 1 − e(− 1T )t = 4 1 − e−2t .

Пример 3.2.

Определить характеристику h(t) для САУ из примера 3.1 операторным методом.

Решение.

Преобразуем по Лапласу исходное уравнение с учетом того, что x(t) =1(t) :

TsH (s) + H (s) = ks .

Откуда:

32

Преобразуем исходное уравнение по Лапласу при нулевых начальных условиях:

(0, 09s2 + 0, 3s + 1)Y (s) = 10 X (s) .

Откуда можно получить выражение для передаточной функции:

Получим алгебраическую форму представления W ( jω) :

33

Соответствующие графики представлены на рис. 2.8.

34

4. Типовые звенья САУ и их характеристики

Пропорциональное звено. Интегрирующее звено. Дифференцирующее звено. Апериодическое звено первого порядка. Форсирующее звено. Колебательное звено. Запаздывающее звено.

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах, могут иметь самое различное конструктивное исполнение и самые различные принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины этих элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев, под которыми понимается искусственно выделенная часть САУ, соответствующая некоторому элементарному математическому алгоритму.

На практике наиболее часто встречаются следующие шесть типовых звеньев:

-пропорциональное;

-интегрирующее;

-дифференцирующее;

-апериодическое 1-го порядка;

-форсирующее;

-колебательное.

Кроме этого к основным типовым звеньям относят также особое звено -

запаздывающее.

Знание свойств перечисленных звеньев существенно облегчает анализ САУ, так как любой элемент системы и вся система в целом могут быть представлены в виде одного или соединения нескольких типовых звеньев. При этом изучаются:

-уравнение звена;

-передаточная функция;

-частотные характеристики – АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ ;

-временные характеристики - h(t) и w(t) .

36

В таблице 4.1 приведены свойства типовых звеньев

37

Контрольные вопросы

1.Как будет изменяться выходной сигнал безинерционного звена, если на его вход подать линейное воздействие? Постройте график

2.Как влияет безинерционное звено на амплитуду и фазу синусоидального входного сигнала?

3.Напишите передаточную функцию инерционного звена первого

порядка.

4.Как проходят через инерционное звено первого порядка гармонические сигналы низкой и высокой частоты?

5.При каком значении коэффициента демпфирования инерционное звено второго порядка имеет апериодический переходный процесс и при каком - колебательный?

6.В чем сходство и отличие частотных свойств интегрирующих и инерционных статических звеньев?

7.Почему дифференцирующие звенья плохо пропускают медленно меняющиеся входные сигналы?

8.Постройте график выходного сигнала звена запаздывания при подаче на его вход линейного воздействия.

9.Напишите передаточную функцию звена запаздывания.

10.Назовите параметры колебательного звена, характеризующие его динамические свойства.

38

5. Устойчивость САУ

Понятие, виды и общее условие устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова.Критерий Найквиста. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Сравнительная оценка критериев устойчивости. Запасы устойчивости. Влияние величины передаточного коэффициента разомкнутого контура САУ на ее устойчивость в замкнутом состоянии.

Одной из важнейших характеристик автоматической системы управления является устойчивость. Этим понятием характеризуется работоспособность системы.

Устойчивость автоматической системы - это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воз-

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными (см. рис. 5.1).

Рис. 5.1. Влияние корней характеристического уравнения системы на составляющие ее свободного движения

39

В ТАУ разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристическое уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила называются критериями устойчивости.

Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Положительность коэффициентов уравнения является необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой или неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент сравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива.

Критерии устойчивости могут быть алгебраическими и частотными. Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные

условия отрицательности корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения.

Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы.

Достаточно распространенным в инженерной практике является критерий Гурвица.

Применительно к задачам теории управления критерий Гурвица можно сформулировать так: система, описываемая характеристическим уравнением

40