§ 7.3 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків

7.3.1 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

де і - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Розв’язок рівняння (1) знаходиться у вигляді

, (2)

де , - невідомі функції, причому одна з цих функцій довільна (але не дорівнює тотожно нулю).

Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

, , (3)

При - це рівняння лінійне, а при - з відокремлюваними змінними. Заміною рівняння (3) зводиться до лінійного рівняння відносно функції .

На практиці розв’язок рівня зручніше шукати у вигляді , не зводячи його до лінійного рівняння.

Рівняння виду

(4),

де , , - задані функції, називаються рівнянням Ріккаті.

Коли , рівняння (4) стає лінійним, у разі - рівняння Бернуллі. У загальному випадку рівняння (4) не інтегрується в квадратурах. Якщо відомий частинний розв’язок рівняння (4), то зміною рівняння Ріккаті

зводиться до рівняння Бернуллі.

7.3.2 Диференціальні рівняння вищих порядків

1. Загальний розв’язок рівняння

2. (1),

де - задана неперервна функція, знаходять - кратним послідовним інтегруванням.

3. Рівняння. (2),

підстановкою зводиться до рівняння виду (1):

.

4. Порядок диференціального рівняння

можна понизити на одиниць, якщо покласти .

5. Порядок диференціального рівняння

,

яке не містить явно залежної змінної , можна понизити на одиницю за допомогою підстановки .

І. Знайти загальний розв’язок рівнянь:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ІІ. Знайти частинний розв’язок рівнянь:

1. , якщо , при ;

2. , якщо , при ;

3. , якщо , при ;

4. , якщо , при ;

5. , якщо , при .

ІІІ. Знайти загальний розв’язок рівнянь:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

ІV. Знайти частинний розв’язок рівнянь:

1., , , .

2. , , , .

§7.4 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Фундаментальна система розв’язків однорідного лінійного рівняння із сталими коефіцієнтами

(1)

ґрунтується на характері коренів характеристичного рівняння

. (2)

Тут можуть бути такі випадки:

1. якщо дійсне число є - кратним кореням рівняння (2), то йому відповідає лінійно незалежних розв’язків рівняння (1):

, ,…, ;

2. якщо - пара комплексних - кратних коренів рівняння (2), то їм відповідає лінійно незалежних розв’язків рівняння (1):

, , ,

,…, ,

.

Загальний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння із сталими коефіцієнтами можна знайти методом варіації довільних сталих.

Якщо порядок рівняння (1) дорівнює двом: , то загальний розв’язок набуває одного з таких

виглядів:

1) , якщо і дійсні і ;

2) , якщо ;

3), якщо , .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння

можна знайти методом невизначених коефіцієнтів при спеціальних видах функції .

1. Якщо , де - многочлен степеня і не є коренем характеристичного рівняння

(3),

то частинний розв’язок шукають у вигляді , де - многочлен степеня з невідомими коефіцієнтами. Якщо - корінь рівняння (3), то , де - кратність кореня або .

Якщо , де , - многочлени степенів та не є коренем рівняння (3), то ,

де , - многочлени степеня .

Якщо є коренем рівняння (3), то

.

І. Знайти загальний розв’язок рівняння:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

ІІ. Знайти частинні розв’язки рівнянь:

1. , якщо і , при ;

2. , якщо і , при ;

3. , якщо і , при ;

4. , якщо і , при ;

5. , якщо і , при ;

6. , якщо і , при .

ІIІ. Знайти загальний розв’яок рівняння:

1. .

2. .