5.2.3 Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо є якою-небудь первісною від неперервної функції , , , то справедлива формула Ньютона-Лейбніца.

.

5.2.4 Заміна змінної у визначеному інтегралі (метод підстановки)

Якщо функція неперервна на відрізку , а

функція і її похідна неперервні на відрізку , причому , , то справджується рівність

.

5.2.5 Метод інтегрування частинами

Якщо функції , та їх похідні та неперервні на відрізку , то справедлива формула інтегрування частинами

.

Обчислити інтеграли:

1.. 2..

3.. 4..

5.. 6..

7.. 8..

9.. 10..

11.. 12..

13.. 14..

15.. 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

§5.3 Деякі застосування визначеного інтеграла: обчислення площ плоских фігур

Якщо на відрізку функція неперервна і , то площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими , знаходять за формулою

.

Якщо функція на відрізку змінює знак скінчене число раз, то

.

Площу фігури, обмеженої кривими та і прямими та за умови, що , знаходять за формулою

.

Коли криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично

прямими та і віссю , то її площа обчислюється за формулою

,

де, і на відрізку .

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою, заданою в полярній системі координат неперервною функцією і променями

та , обчислюється за формулою

.

І.Обчислити:

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10. .

ІІ. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

1. ; ; ; .

2. ; ; ; .

3. ;.

4. ;.

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; ; ; .

9. , ; , ; , .

10. ; .

Глава 6. Диференціальне числення функції багатьох змінних

§ 6.1 Означення функцій багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних

6.1.1 Функція багатьох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня

Нехай  множина упорядкованих чисел . Якщо кожній парі за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і , у записують .

Множину пар для яких функція визначена, називають областю визначення функції і позначають або просто .

Множину значень позначають або . Аналогічно означається поняття функції трьох і більшого числа змінних.

Лінією рівня функції називається лінія

, в точках якої функція зберігає стале значення , .

Поверхнею рівня функції називається поверхня , в точках якої функція зберігає стале значення , .

6.1.2 Границя та неперервність функції

Нехай  відстань між точками та , де або , проте в довільному околі точки міститься хоча б одна точка множини відмінна від .

Число називається границею функції у точці , якщо для кожного числа знайдеться число таке , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність . При цьому пишуть:

або .

Функція називається неперервною на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини. Точки, в

яких неперервність функцій порушується, називаються точками розриву функції. Точки розриву можуть бути ізольовані, утворювати лінії розриву, поверхні розриву і т. д.