Глава 8. Ряди

§ 8.1 Числові ряди. Найпростіші властивості числових рядів

8.1.1 Основні поняття. Необхідна умова збіжності ряду

Вираз називають рядом, а - загальним членом ряду; - частинною сумою ряду. Якщо , то ряд збіжний і - сума цього ряду. Якщо , то - розбіжний.

Ряд збіжний при і і розбіжний при .

Якщо ряд збіжний, то .(Необхідна умова збіжності).

Якщо , то ряд розбіжний. (Достатня умова розбіжності).

І. Записати чотири - п’ять членів ряду і перевірити ознаку збіжності:

1. 

2. 

3. 

ІІ. Написати формулу загального члена ряду і перевірити необхідну умову збіжності ряду:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

ІІІ. Дослідити на збіжність ряд:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

§ 8.2 Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності

Ознака порівняння. Нехай ряди та знакододатні і , тоді якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд , а якщо ряд розбіжний, то розбіжний і ряд .

Гранична ознака порівняння. Нехай ряди та знакододатні, причому існує скінченна границя , тоді ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Ознака Д’Аламбера. Якщо для знакододатного ряду існує границя , то ряд збіжний при і розбіжний при .

Ознака Коші. Якщо для знакододатного ряду існує границя , то ряд збіжний при і розбіжний при .

Інтегральна ознака Коші. Нехай задано ряд

,

причому додатна, неперервна і монотонно спадна функція на проміжку . Тоді ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

І. Дослідити на збіжність ряди (ознака Д’Аламбера):

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

ІІ. Дослідити на збіжність ряди (ознака Коші):

1. 5.

2. 6.

3. 7.

8.

§ 8.3Степеневі ряди Теорема Абеля. Інтеграл та радіус збіжності степеневого ряду

8.3.1 Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля

Функціональний ряд виду називають степеневим рядом.

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збіжний при , то він абсолютно збіжний для всіх значень , що задовольняють нерівність . Якщо при ряд

розбіжний, то він розбіжний всюди, де .

Для визначення радіуса та інтервалу збіжності степеневого ряду, складемо ряд з модулів членів ряду ,

тобто .

Припустимо, що для коефіцієнтів степеневого ряду існує границя

або .

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал - його інтервалом збіжності. Питання збіжності ряду при розв’язується для кожного ряду окремо. Якщо , то ряд є збіжним на всій числовій осі, а при ряд збігається лише в точці .

Радіус збіжності визначається за тими самими формулами, що й ряд . Але інтервал збіжності знаходять з нерівності , тобто він має вигляд .

Знайти область збіжності степеневих рядів:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

§ 8.4 Ряд Тейлора. Розкладання елементарних функцій у ряд Маклорена

8.4.1 Розвинення елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена. Наближені обчислення

Ряд Тейлора має вигляд:

При маємо ряд Маклорена

Розвинення деяких функцій у ряд Маклорена:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

,;

,;

,

;

, .

І. Розкласти в ряд Маклорена функції:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

ІІ. Скласти ряд Тейлора для даних функцій у вказаних точках:

1. , , ;

2. , , .