§8. 5 Ряди Фур’є
8.5.1Тригонометричні ряди
Нехай
-
-
періодична кусково-диференційована на
відрізку
функція. Тоді ряд Фур’є цієї функції
має вигляд
,
де
;
;
.
Якщо
функція
парна на
, то її ряд Фур’є має вигляд
,
де
;
.
Якщо
функція
непарна на
,
то її ряд Фур’є
має вигляд
,
де
.
Для
довільної інтегрованої
- періодичної функції
виконується рівність
,
де
- довільне число.
Нехай
функція
,
визначена на відрізку
,
має період
і на
відрізку
кусково-диференційована. Тоді
,
де
,
,
.
Якщо
функція
парна на
,
то маємо
,
де
,
.
а якщо
непарна на
, то
,
де
.
8.5.2 Ортогональність системи функцій
Система
функцій
ортогональна на
,
якщо
.
Система
функцій
ортогональна на
з вагою
,
якщо
.
І. Розкласти в ряд Фур’є функцію:
-
на
відрізку
-
на
відрізку
-
,
; -
,
.
ІІ. Які із цих систем функцій є ортогональними на відрізку
:
-
,
,
-
,
,
,
-
,
; -
,
Відповіді
Глава 3.
§3.1
II.
а)
б)
III.
1.
-1; 2.
.
3.
.
4.
3. 5.
.
6.
.
§3.2
III.
1.
.
2.
-1. 3.
.
4.
1.
IV.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
V. 1. непарна.2. ні, парна, ні, непарна.
VI.
1.
непарна. 2.
ні, парна, ні, непарна. VI.
1.
.
2.
0.
3.
0. 4.
.
Глава 4.
§4.1 2.
рівняння
дотичної:
;
рівняння нормалі:
.
3.
рівняння дотичної:
;
рівняння нормалі:
.
4.
а)
рівняння дотичної:
;
рівняння нормалі:
.
б)
рівняння дотичної:
;
рівняння нормалі:
.
5.
т.
.
6.
.
7.
а)
;
б)
;
в)
.
§4.2
I.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
II.1.
2.
2.
0.
3.
4.
4.
1. 5.
2.
6.
.
7.
.
8.
0.
9.
0.
§4.3
I.
1.функція
зростає на інтервалі
.
2.
- функція спадає,
- функція зростає. 3.
- функція спадає,
-
функція зростає. 4.
-
функція зростає;
-
функція спадає. 5.
-
функція спадає;
функція
зростає. 6.
-
функція спадає
функція
зростає. 7.
-
функція спадає;
функція
зростає.
II.1.
,
.
2.
.
3.
Функція
зростає на множині дійсних чисел.
4.
,
.
5.
,
,
.
III.1.
,
.
2.
,
.
VI.
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
,
.
VI.
.
§4. I.
1.
- крива вгнута,
- крива опукла. 2.
-
крива опукла,
-
крива вгнута. 3.
-
крива опукла,
-
крива вгнута. 4.
-
крива опукла,
-
крива вгнута. 5.
-
крива вгнута,
-
крива опукла. 6.
крива
вгнута на множині дійсних чисел.
І1.
.
2.
.
3.
,
,
.
4.
.
5.
.
6.
.
III.
1.
- вертикальна асимптота,
- похила асимптота. 2.
- горизонтальна асимптота. 3.
- вертикальна асимптота,
- похила асимптота. 4.
- вертикальна асимптота. 5.
- горизонтальна асимптота.
Глава 5.
§5.1
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
§5.2
1. 26.
2.
1.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
61.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
3.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
2.
26.
.
27.
.
28.
12.
29.
.
30.
.
§5.3
I.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
6.
.
7.
2.
8.
.
9.
.
10.
II.
1.
16.
2.
6.
3.
36.
4.
.
5.
.
6.
8.
7.
.
8.
6.
9.
.
10.
6