5.1.2 Метод підстановки (заміни змінної)

Метод заміни змінної застосовується одним із таких двох способів.

1. Інтеграл записують у вигляді

,

в якому для функції відома первісна . Тоді

.

У цьому разі йдеться про «введення функції під знак диференціала»: .

2. Інтеграл зображають у вигляді

,

де функція має обернену функцію і для функції відома первісна . Тоді

.

У цьому разі йдеться про виведення функції з-під знака диференціала:

.

0. 5.1.3 Метод інтегрування частинами

Якщо та - функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні, то справедлива така формула інтегрування частинами:

.

Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі типи інтегралів:

1)інтеграли виду , де - многочлен, а - дійсне число. У цих інтегралах за слід взяти множник , а за - вираз, що залишився;

2)інтеграли виду , де - многочлен. У цих інтегралах слід взяти ;

3)інтеграли виду де - дійсні числа. Тут після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

Знайти інтеграли:

1.; 2.;

3.; 4.;

5.; 6.;

7.; 8.;

9.; 10.;

11.; 12.;

13.; 14.;

15.; 16. ;

17. ; 18. ;

19. . 20. .

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. .

§5.2 Визначений інтеграл. Методи обчислення визначених інтегралів

5.2.1 Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

Нехай функція визначена на відрізку , і - довільне розбиття цього відрізка на частин. Тоді інтегральною сумою функції на відрізку називається сума виду

,

де - довільна точка частинного відрізка і - довжина відрізка .

Якщо існує скінчена границя інтегральної суми при умові, що найбільша із різниць прямує до нуля, яка не залежить ні від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ні від вибору точок , то ця різниця називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням

.

В цьому випадку функція називається інтегровною на відрізку . Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку.

5.2.2 Властивості визначеного інтеграла

1. Якщо всюди на відрізку маємо , то

.

2. Якщо всюди на відрізку маємо, то

(монотонність визначеного інтеграла).

3. Якщо функція інтегрована на відрізку , то

.

4. Якщо і - відповідно більше і найменше значення функції на відрізку , то

(оцінка інтеграла по області).

5. Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку знайдеться така точка , що

(теорема про середнє значення функції). Число

називається середнім значенням функції на відрізку .

6. Якщо функція неперервна на відрізку , то інтеграл із змінною верхньою межею

є первісною для функції , тобто похідна визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі:

.

7. Якщо функції і диференційовні в точці і неперервна при , то

.