- •Глава 3. Вступ до математичного аналізу
- •§3.1 Числова послідовність. Границя послідовності
- •§3.2 Функція. Границя функції. Теореми про границі. Неперервність функції.
- •3.2.1 Функція. Найпростіші властивості функції
- •3.2.2 Границя функції. Обчислення границь
- •3.2.3 Неперервність функції
- •Глава 4. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •§4.1 Означення похідної. Рівняння дотичної. Рівняння нормалі
- •1. Знайдіть похідну функції в точці X, використовуючи означення похідної.
- •4.1.2 Геометричне застосування похідної
- •§4.2 Правило обчислення похідних. Похідна показникової, логарифмічної, тригонометричної, складеної функцій.
- •Знайдіть похідні наступних функції:
- •II. Знайдіть похідну функції в т. :
- •§4.3 Монотонність функції. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменше значення функції.
- •4.3.1 Монотонність і екстремум функції
- •4.3.2 Найбільше і найменше значення функції
- •§4.4 Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої. Дослідження функції та побудова її графіка
- •4.4.1 Опуклість і вгнутість кривих
- •4.4.2 Асимптоти кривої
- •4.4.3 Схема дослідження функції та побудова її графіка
- •Глава 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •§5.1 Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування невизначеного інтеграла
- •Метод безпосереднього інтегрування
- •5.1.2 Метод підстановки (заміни змінної)
- •5.1.3 Метод інтегрування частинами
- •§5.2 Визначений інтеграл. Методи обчислення визначених інтегралів
- •5.2.1 Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
- •5.2.2 Властивості визначеного інтеграла
- •5.2.3 Формула Ньютона-Лейбніца
- •5.2.4 Заміна змінної у визначеному інтегралі (метод підстановки)
- •5.2.5 Метод інтегрування частинами
- •§5.3 Деякі застосування визначеного інтеграла: обчислення площ плоских фігур
- •Глава 6. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •§ 6.1 Означення функцій багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних
- •6.1.1 Функція багатьох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня
- •6.1.2 Границя та неперервність функції
- •6.1.3 Частинні похідні першого порядку
- •6.1.4 Похідні та диференціали вищих порядків
- •§ 6.2 Повний диференціал функції багатьох змінних та його застосування
- •6.2.1 Повний диференціал функції та його застосування до обчислення значень функцій та похибок
- •Vі. Обчислити наближено:
- •Глава 7. Диференціальні рівняння
- •§ 7.1 Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Загальний і частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку
- •7.1.1 Загальні поняття та означення. Геометричний зміст диференціального рівняння
- •§ 7.2 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- •7.2.1 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
- •7.2.2 Однорідні диференціальні рівняння
- •§ 7.3 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •7.3.1 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •7.3.2 Диференціальні рівняння вищих порядків
- •§7.4 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
- •Глава 8. Ряди
- •§ 8.1 Числові ряди. Найпростіші властивості числових рядів
- •8.1.1 Основні поняття. Необхідна умова збіжності ряду
- •§ 8.2 Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності
- •§ 8.3Степеневі ряди Теорема Абеля. Інтеграл та радіус збіжності степеневого ряду
- •8.3.1 Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля
- •§ 8.4 Ряд Тейлора. Розкладання елементарних функцій у ряд Маклорена
- •8.4.1 Розвинення елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена. Наближені обчислення
- •§8. 5 Ряди Фур’є
- •8.5.1Тригонометричні ряди
- •8.5.2 Ортогональність системи функцій
- •Відповіді
- •Глава 5.
- •Глава 6.
- •Глава 7
- •Список рекомендованої літератури
- •Вища математика Збірник задач іі частина
3.2.2 Границя функції. Обчислення границь
Нехай функція визначена в деякому околі Х точки , крім, можливо, самої точки . Число А є границею функції в точці , якщо для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність
,
виконується нерівність
.
Позначення:
.
Функція при є нескінченно великою (має границю ), якщо вона визначена в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки , і для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють нерівність
,
виконується нерівність
.
Позначення:
.
Функція при є нескінченно великою (має границю ), якщо вона визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , і для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність
.
При функція є нескінченно великою, якщо для довільного числа можна знайти таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність .
Функція є нескінченно великою при (), якщо .
Деякі властивості нескінченно малих величин:
-
якщо при () - нескінченно мала, а - нескінченно велика величина, то при () і - відповідно нескінченно велика і нескінченно мала велечини;
-
сума скінченого числа нескінченно малих величин є нескінченно малою величиною;
-
добуток обмеженої функції на нескінчену малу є нескінченно малою величиною;
-
частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, яка має відміну від нуля границю, є нескінченно малою величиною.
Якщо кожна з функцій та має скінчену границю при (), то справедливі формули:
1)
2)
3)
4)
При обчисленні границь часто використовують такі границі:
- перша важлива границя;
- друга важлива границя.
Число є границею функції зліва(лівою границею) в точці
Число є границею функції справа(правою границею) в точці , якщо для будь-якого числа існує таке, що при виконується нерівність
Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.
3.2.3 Неперервність функції
Функція є неперервною в точці , якщо виконуються такі умови:
-
функція визначена в точці і в деякому околі цієї точки;
-
існують скінчені односторонні границі функції і ;
-
односторонні границі рівні між собою і дорівнюють значенню функції в точці , тобто .
Якщо не виконується хоча б одна з цих умов, то функція є розривною в точці , а сама точка - точкою
розриву функції.
Якщо функція визначена в точці й існують скінченні односторонні границі, але не всі числа рівні між собою, то розрив функції в точці є розривом першого роду, а точка
- точкою розриву першого роду. Величина є стрибком функції. Зокрема, якщо , то розрив у точці є усувним, а точка - точкою усувного розриву. Довизначивши функцію в точці рівністю , дістанемо непервну функцію.
Якщо хоча б одна із односторонніх границь не існує або дорівнює нескінченності, то розрив функції в точці є
розривом другого роду, а точка - точкою розриву другого роду.
Функція неперервна на відрізку , якщо вона непервна в кожній внутрішній точці цього вірізка, а також у точці справа і в точці зліва.
Всі елементарні функції неперевні в області свого визначення.
Якщо функція неперервна на відрізку , то:
-
вона обмежена на цьому відрізку і досягає на ньому принаймні один раз свого найбільшого і найменшого значення;
-
набуває всіх проміжних значень між найменшим і найбільшим значеннями;
-
при зміні знаку функції на відрізку знайдеться принаймні одна точка , в якій .
I.Довести, що функція неперервна на всій числовій прямій
1. ;
2. ;
3. ;
4.
II. Дослідіть на неперервність наступні функції в точці :
1. в т. ;
2. в т. ;
3. в т. ;
4. в т. ;
5. в т. ;
6. в т. ;
7. в т. ;
8. в т. .
III. Обчислити границю:
1. ; 2. ;
3. ; 4. .
IV. Знайти область визначення функції:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. .
V. Які із функцій є парними, які непарними:
1. ; 2. .
VI. Обчислити границю:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22.;
23. ; 24. .