27. Тела вращения.

Обычно теор. материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.

При изуч-и фигур вращения очень велико значение чертежа.Чертеж явл. осн. ср-вом иллюстрации, развития прост­р-го воображения. При этом необходимо помнить, что чертеж, к-ый появл. на доске постепенно и сопровождается комментариями учителя, имеет большую пед. ценность. Учитель должен показать уч-ся как изобразить на пл-ти фигуру вращения, то или иное ее сечение. Знач-е изуч-я в школе св-в тел вращения трудно пере-­ оценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с под­готовкой уч-ков к жизни, к труду. Учителю следует подчеркнуть, что форму тел вращения имеют многие де­ тали машин, приборов. Такую же форму имеют архитектурные сооружения, предметы быта. Тема «Тела вращения» усваивается уч-ся неплохо. Одна­ко анализ состояния знаний уч-ся показывает, что недостаточно сформированы навыки в решении стереом-х з-ач, ошибки и недочеты как в выполнении графической части за­дания , так и в неумении проводить теор. обоснования отдельных этапов решения.

Весь круг вопросов по теме можно условно разделить на две группы:

1) Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевой и перпендикулярное оси, впис. и опис. многогр-ки; б) объем; в) площадь бок. пов-ти.

2) Шар и сфера: а) определение, симметрия, сечение, касат. пл-ть; б) объем шара; в) площадь сферы.

При планировании следует учитывать, что цилиндр и конус изучаются по единому плану и общий подход при рас-рении осн. понятий один и тот же. Подчеркивая общее и выявляя различия в св-вах цилиндра и конуса, учитель добивается осоз­-го усвоения материала уч-ся.

28. Векторы на плоскости и в пространстве.

В соответствии с требованиями программы по математике для средней школы понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. В физике при помощи векторов изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение… при этом часто векторные величины называют векторами. Иногда такая направленная величина оказывается существенно связанной с определенной точкой или прямой. В математике же обычно имеют дело с так называемыми свободными векторами (не связанным ни с чем).

В пособии Погорелова вектор определяется: направленный отрезок называется вектором. У Атанасяна: вектором называется направленный отрезок. Отличительной чертой изложения векторов в пособии Погорелова является широкое использование координатного метода. При этом широко применяются свойства параллельного переноса. С его помощью вводятся такие важные понятия, как одинаково направленные векторы, равенство векторов. Две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом; векторы одинаково направлены, если они принадлежат одинаково направленным полупрямым. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Определив абсолютную величину вектора (длина отрезка, изображающего вектор) и одинаковую направленность векторов, можно получить такое следствие:

Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине и обратно: если векторы равны по абсолютной величине и одинаково направлены, то они равны.

Доказательство следует проводить с помощью параллельного переноса. Операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов. Чаще всего эти операции вводятся в геометрической форме. У Погорелова в координатной форме. Это позволяет легко получить законы векторной алгебры. Сложение векторов: Суммой векторов и называется вектор , то есть +=. После этого можно доказать теорему: каковы бы ни были точки А,В и С имеет место векторное равенство: . (правило треугольника для сложения векторов). Это правило иногда применяют в качестве определения сложения векторов. Сложение векторов в пространстве определяется так же как и на плоскости. Умножение вектора на число: Определение этой операции сформулировано в координатной форме. Произведением вектора на число называется вектор , то есть =. Важным для приложения векторов является тот факт, что любой вектор допускает разложение в виде , где единичные векторы имеющие направления положительных координатных полуосей, их называют координатными векторами или ортами. В пространстве умножение вектора на число так же, только разложение идет по трем координатным векторам: . Скалярное умножение векторов: Скалярным произведением векторов и называется число . Из этого определения получаем закон для любых векторов , и : . После этого доказывается теорема: скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Из этой теоремы следует: если векторы , то их скалярное произведение равно 0 и обратно.

Рассмотрим еще некоторые свойства скалярного произведения: 1) (коммутативность); 2) , числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения; 3) выражение будем обозначать и называть скалярным квадратом вектора . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то есть ; 4) косинус угла между ненулевыми векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение числовых значений длин векторов, то есть:

. Скалярное произведение векторов в пространстве определяется аналогично.