МА4_Вопр_МИ-12

Вопросы к экзамену по математическому анализу

(специальность МИ-МИЯ, 4 семестр)

Раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

1. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

2. Теорема о неявной функции (одной и нескольких переменных).

3. Поверхности, заданные неявно: касательная плоскость и нормаль. Кривые, заданные неявно: касательная и нормальная плоскость.

4. Теорема о системе неявных функций (о неявно заданном операторе). Кривые и поверхности, заданные параметрически.

5. Теорема об обратном операторе для пространства .

6. Диффеоморфизмы и их свойства. Коэффициент изменения меры при диффеоморфизме. Геометрический смысл модуля якобиана, знака якобиана.

7. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных.

8. Понятие условного экстремума функции нескольких переменных. Решение задачи на условный экстремум методом исключения переменных. Лагранжиан. Решение задачи на условный экстремум методом множителей Лагранжа.

Раздел «Интегральное исчисление функций нескольких переменных»

Кратные интегралы

9. Кратный интеграл Римана функции n переменных по брусу в пространстве как предел интегральных сумм (Римана). Необходимое условие существования кратного интеграла по брусу от функции n переменных. Множества нулевой меры в пространстве Rⁿ. Достаточные условия существования кратного интеграла по брусу.

10. Свойства кратного интеграла по брусу.

11. Кратный интеграл Римана функции n переменных по ограниченной области в пространстве . Достаточные условия существования интеграла по ограниченной области. Мера Жордана ограниченного множества в пространстве Rⁿ (длина отрезка, площадь плоской фигуры, n-мерный объём).

12. Свойства кратного интеграла по ограниченной области.

13. Сведение кратного интеграла по брусу к повторному (теорема Фубини). Сведение кратного интеграла по произвольной области к повторному.

14. Замена переменных в кратном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Криволинейные интегралы

15. Дифференциал длины дуги плоской и пространственной кривой, заданной параметрически.

16. Понятие криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Понятие криволинейного интеграла второго рода (по координатам).

17. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Свойства криволинейного интеграла второго рода.

18. Сведение криволинейных интегралов первого и второго рода к интегралу Римана. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

19. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

20. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора плоской кривой, соединяющей данные точки. Полные дифференциалы функций двух переменных. Обобщение формулы Ньютона-Лейбница на случай криволинейных интегралов.

Поверхностные интегралы

21. Понятие двусторонней поверхности. Сторона поверхности и ориентация кривых на поверхности. Дифференциал площади криволинейной поверхности, заданной параметрически.

22. Понятие поверхностного интеграла первого рода (по площади поверхности). Понятие поверхностного интеграла второго рода (по координатам).

23. Свойства поверхностных интегралов первого и второго рода.

24. Сведение поверхностных интегралов первого и второго рода к двойному интегралу. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

25. Формула Остроградского-Гаусса. Условия независимости поверхностного интеграла второго рода от выбора поверхности, натянутой на данный контур.

26. Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора пространственной кривой, соединяющей данные точки. Полные дифференциалы функций трех переменных.

Элементы векторной теории поля

27. Оператор «набла» и дифференциальные операции первого порядка (градиент, дивергенция, ротор) в векторной теории поля.

28. Композиции дифференциальных операций первого порядка. Оператор Лапласа.

29. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в обозначениях векторной теории поля.

30. Условия независимости интегралов от выбора кривой/поверхности с данной границей в терминах векторной теории поля. Потенциальные и соленоидальные поля.

Приложения интегрального исчисления функций нескольких переменных

31. Вычисление длины дуги плоской или пространственной кривой, заданной параметрически, с помощью криволинейного интеграла первого рода. Случаи плоской кривой, заданной явно в декартовых и в полярных координатах. Вычисление массы неоднородной кривой.

32. Вычисление площади плоской области с помощью двойного интеграла. Случаи криволинейной трапеции, области, элементарной относительно одной из осей, криволинейного сектора. Вычисление площади плоской области с помощью криволинейного интеграла второго рода. Вычисление массы неоднородной пластинки.

33. Вычисление площади криволинейной поверхности, заданной параметрически, с помощью поверхностного интеграла первого рода. Случай поверхности, заданной явно в декартовых координатах. Случай поверхности вращения. Вычисление площади цилиндрической поверхности с помощью криволинейного интеграла первого рода. Вычисление массы неоднородной поверхности.

34. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла. Случаи криволинейного цилиндра, области, элементарной относительно одной из осей, области, элементарной относительно одной из плоскостей, тела вращения. Вычисление объема тела с помощью поверхностного интеграла второго рода. Вычисление массы тела.

35. Вычисление статических моментов и моментов инерции кривой, плоской области, криволинейной поверхности, тела. Координаты центра масс кривой, плоской области, криволинейной поверхности, тела.