1.2. Решение задач по динамике координатным методом.

Координатный метод находит применение и при решении задач по динамике. Здесь используются понятия проекций вектора силы и ускорения на координатную ось. Основное уравнение динамики или второй закон Ньютона, записанный в форме проекций сил и ускорения на координатную ось ОХ, выглядит так: Σ F_ix = ma_x. Умение составлять такие уравнения является основой для решения динамических задач, в которых, как правило, требуется определить ускорение в движении тела или системы тел и пассивные силы (силы трения, натяжения связывающих тела нитей, реакций опор).

Задача № 7. Cистема из двух грузов массами m₁ и m₂ (рис. 8) находится в лифте. движущемся вверх с ускорением а. Найти силу натяжения Т нити, если коэффициент трения между грузом m₁ и опорой равен μ.

Грузы связаны нерастяжимой нитью, поэтому ускорения грузов относительно стола одинаковы по величине и равны а'. В неподвижной системе отсчёта ускорение груза m₂ направлено по вертикали и равно а₂ = а' – а. Ускорение груза m₁ имеет две составляющие: вертикальную а_1в = а и горизонтальную а_1г = а'.

Запишем второй закон Ньютона для движения каждого из грузов в виде проекций сил и ускорений на координатные оси:

для первого груза массой m₁ ОХ: Т – F_тр = m₁a_1г;

ОУ: N - m₁g = m₁a_1в; F_тр = μ N или

Т – μ N = m₁а';

N – m₁g = m₁a; (1.53)

для второго груза массой m₂

ОУ: m₂g – T = m₂a₂ или

m₂g – T = m₂ (а' – а). (1.54)

Решая полученную систему, состоящую из двух уравнений (1.53) и уравнения (1.54), получаем выражение для силы натяжения нити

Т = m₁m₂ (g + a)(1 + μ) / (m₁ + m₂). (1.55)

Задача № 8. К вершине прямого кругового конуса прикреплена небольшая шайба с помощью нити длиной L = 1 м. Вся система вращается вокруг оси конуса, расположенной вертикально. Каков угол при вершине конуса 2φ, если при минимальном числе оборотов шайбы n = 0,7 с ^-1 её давление на боковую поверхность конуса становится равным нулю?

При вращении шайбы по боковой поверхности конуса на неё действуют следующие силы: mg – сила тяжести, Т – сила натяжения нити, N – сила реакции поверхности конуса. В сумме они создают равнодействующую силу, которая сообщает шайбе центростремительное ускорение (рис. 9). Ось ОХ направляем вдоль вектора а_цс в его направлении, ось ОУ – вертикально. Тогда уравнения динамики в проекциях на оси ОХ и ОУ будут иметь вид:

ОХ: Т sin φ – N cos φ = ma_цс; (1.56)

Рис. 9. ОУ: Т cos φ + N sin φ – mg = 0. (1.57)

Пока шайба не оторвалась от поверхности конуса, сила реакции N > 0. В момент отрыва и после отрыва от поверхности

N = 0. Центростремительное ускорение a_цс = v²/R , где R – радиус окружности, которую описывает шайба при движении по поверхности конуса. R = L sin φ. Линейная скорость v связана с числом оборотов в секунду n соотношением:

v = 2πRn. Учитывая всё это, запишем уравнения (1.56) и (1.57) в виде:

Т = m 4π²n² L; (1.58)

Т cos φ = mg. (1.59)

Разделив (1.59) на (1.58), получим соотношение:

cos φ = g/ 4π²n² L. (1.60)

Подставив в (1.60) числовые значения n и L, определим угол 2φ при вершине конуса: cos φ = 9,8 / 4 ^. 3,14^{2 .} 0,7^{2 .} 1 = 0,5, следовательно, φ = 60^о, а 2φ = 120^о.