§ 8. Методы расчёта резисторных схем постоянного тока.

8.1. Расчёт эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей.

Линейные бесконечные цепи, как правило, симметричны и во многих случаях содержат одинаковые повторяющиеся элементы, состоящие из резисторов. Расчёт сводится к определению эквивалентного сопротивления, равного сопротивлению всей цепи.

Задача № 36. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепи (рис. 35), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Для определения эквивалентного сопротивления цепи выделим общий элемент, который бесконечно повторяется. Очевидно, что если отделить его от цепи, то общее сопротивление цепи не изменится, т.к. число таких элементов бесконечно. Выделив повторяющийся элемент цепи и заменив сопротивление остальной цепи искомым сопротивлением R_X, получим эквивалентную схему (рис. 36), сопротивление которой определим по формуле

R_X = 2R + RR_X/ ( R + R_X), (8.1)

или

R_X^{2 –} 2RR_X – 2R² = 0. (8.2)

Решив это квадратное уравнение, получаем значение эквивалентного сопротивления

R_X = R (1 + 3^1/2). (8.3)

Задача № 37. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепи

(рис. 37,а), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Применим такой же приём, но с другим повторяющимся элементом цепи (рис. 37,б).

R_X = (2R + R_X)R/[(2R + R_X) + R] = (2R + R_X)R/(3R + R_X)

или

R_X² + 2RR_X – 2R² = 0. (8.4)

Решив это квадратное уравнение, получим значение эквивалентного сопротивления данной бесконечной цепи:

R_X = R (3^1/2 - 1). (8.5)

Задача № 38. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис. 38,а) которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению четырёх резисторов, соединённых между собой в цепь, изображённую на рис. 42.

Сопротивления R₀ одинаковы и равны R₀ = R (3^1/2 - 1) (8.6)

(смотри решение задачи № 37).

Тогда эквивалентное сопротивление между точками А и В будет равно:

R_AB = (2R₀ + R)R/ (2R₀ + R) + R. (8.7)

Подставив значение R₀ из (8.4) и произведя преобразования, получим

R_AB = R(6 – 3^1/2)/6.

8.2. Шаговый (рекуррентный) метод расчёта эквивалентного сопротивления электрической цепи.

Данный метод удобен в том случае, когда схема представляет собой некоторое число повторяющихся структурных элементов. Этот метод основан на том, что результат первого действия (шага) используется во втором, второй – в третьем и т.д. Число шагов зависит от числа повторяющихся структурных элементов.

Задача № 39. Найти сопротивление цепи, изображённой на рис. 39.

Для решения задачи изобразим схему цепи в более удобном для расчётов и наглядном виде (рис.40,а). Теперь видно, что цепь представляет собой три вложенных друг в друга групп резисторов, соединённых параллельно. Начинают пошаговое определение эквивалентных сопротивлений с самых внутренних элементов. Заменим резисторы R₄ , R₅ , R₆ резистором R^’, величину которого определим по формуле: R^’ = R₄ + R₅ R₆ / (R₅ + R₆) (8.8)

В результате замены получим новую схему цепи (рис. 40, б). Аналогично рассчитываем эквивалентное сопротивление резисторов R₂, R₃ и R^’:

R^’’ = R₂ + R^’ R₃ / (R^’ + R₃). (8.9)

В итоге получаем простую схему (рис. 40,в), позволяющую определить сопротивление всей цепи

R _общ = R^’’ R₁ / (R^’’ + R₁). (8.10)

Задача № 40. Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис. 41.

Расчёт эквивалентного сопротивления цепи АВ начинаем слева. Эквивалентное сопротивление участка цепи АС равно R, т. к. здесь включены параллельно два одинаковых сопротивления 2R. Участок АС соединён последовательно с сопротивлением R. Сопротивление верхней ветви участка АD равно 2R. Т.к. эта ветвь параллельна сопротивлению 2R, то общее сопротивление участка цепи АD равно R. Участок цепи AD соединён последовательно с участком DB, сопротивление которого равно R, поэтому эквивалентное сопротивление верхней ветви цепи АВ равно 2R. Поскольку это сопротивление параллельно сопротивлению 2R нижней ветви цепи АВ, то общее сопротивление цепи АВ равно R.