§6. Метод отрицательных масс.

Этот метод используется при решении задач на определение положения центра масс фигуры, имеющей удалённые из неё участки. В этом случае массу удалённого участка считают отрицательной, а силу тяжести этого участка (-mg) направляют вверх. В дальнейшем используют условие равновесия тела, находящегося под действием системы параллельных сил. Здесь используется понятие момента силы.

Задача №31. Определить координату Х_С центра масс однородного цилиндра радиуса R, в котором высверлено сквозное цилиндрическое отверстие радиуса r, ось которого параллельна оси цилиндра и находится от неё на расстоянии d.

Изобразим поперечное сечение цилиндра с высверленным в нём цилиндрическим отверстием. Сечение проводим через середину длины цилиндра. Центр масс (точка С) (рис. 31) находится на оси Х, проходящей через точки О и О₁. После удаления цилиндрической части радиуса r он смещается вправо от оси основного цилиндра. На рисунке указываем силы тяжестей сплошного цилиндра Mg и удалённого цилиндра (-mg). Под действием этих сил цилиндр остаётся в равновесии, если ось вращения проходит через центр масс. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения заключается в равенстве нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси. Условие равновесия в нашем случае будет иметь вид:

Mg X_C - mg(d + X_C) = 0. (6.1)

Массы М и m определим по формулам:

М = ρ V = ρ πR²L; m = ρ π r²L, (6.2)

где ρ – плотность материала цилиндра, L – длина цилиндра.

После подстановки (6.2) в (6.1) и преобразований получаем выражение:

R² X_C - r²(d – X_C) = 0, (6.3)

Откуда получаем значение координаты центра масс Х_С:

Х_С = d [r²/ (R² + r²)]. (6.4)

Задача № 32. Определить координату центра масс алюминиевого цилиндра радиуса R, в котором сквозное высверленное цилиндрическое отверстие радиуса r залито свинцом. Расстояние между осями алюминиевого цилиндра и заполненного отверстия d.

Поскольку плотность свинца больше плотности алюминия, то центр масс (точка С) такого цилиндра сместится влево от оси основного цилиндра. Масса высверленного алюминиевого цилиндра m₁ считается отрицательной, поэтому сила тяжести (-m₁g) направлена вверх, а сила тяжести заполняющего это отверстие свинца m₂g направлена, как обычно, вниз (рис. 32). Массы М, m₁ и m₂ определим по формулам:

М = ρ_Al πR²L; m₁ = ρ_Al πr²L; m₂ = ρ_Pb πr²L. (6.5)

Уравнение равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс, будет иметь вид:

m₂g(d – X_C) - m₁g (d – X_C ) - Mg X_C = 0. (6.6)

После подстановки значений М, m₁ и m₂ из (6.5) в (6.6) и преобразований получим выражение, определяющее координату центра масс данного цилиндра:

X_C = dr² ( ρ_Pb - ρ_Al)/[ ρ_Al(R²- r ²) + ρ_Pbr ²]. (6.7)