VX определяем из уравнения (1.10), Vy из уравнения (1.11), подставив в него значение tп:

V_y = V₀sinα - gt_п = V₀ sinα - g [ V₀ sin α + (V₀² sin²α + 2gh)^1/2]/g (1.16) ,

Скорость мяча в момент падения V определится по теореме Пифагора:

V = (V_x² + V_y²)^1/2. (1.17)

Проекция V_y будет отрицательной, но будучи возведённой в квадрат даст положительное значение. Следует помнить, что вектор скорости в любой точке направлен по касательной к траектории движения.

Решение задач на движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, или свободно падающее (здесь угол α = 90^о) сводится к составлению только одного уравнения:

У = h + V₀ t – gt²/2. (1.18)

Уравнение (1.18) записано для случая бросания тела вертикально вверх с высоты h. Ось У направлена вверх, начало координат совпадает с уровнем земли.

Если тело брошено горизонтально (α = 0^о), то уравнения движения (1.4) и (1.5) принимают вид:

Х = V₀ t; (1.19)

У = h – gt²/ 2. (1.20)

Если в задаче описывается движение двух тел, то нужно составлять уравнения движения для каждого тела. Если в какой-то момент времени одно тело догоняет другое или они встречаются (сталкиваются), то это означает, что в этот момент времени они приобретают одинаковые координаты Х и У.

Задача №2. Тело А свободно падает с высоты h, тело В, находящееся на расстоянии L от предполагаемой точки падения тела А, бросают так, чтобы оно в полёте столкнулось с телом А. Под каким углом α к горизонту нужно бросить тело В и с какой скоростью, чтобы столкновение было возможным.

Начало координат совмещаем с точкой, в которой находится тело В (рис. 3).

Записываем уравнения движения тел.

Для тела А: Х_А = L; (1.21)

У_А = Н - gt²/ 2. (1.22)

Для тела В:

Х_в = ( V₀ cos α) t; (1.23)

У_в = ( V₀ sinα) t – gt²/2. (1.24)

При столкновении Х_А = Х_в; У_А = У_в, приравняв правые части (1.21) и (1.23), а также (1.22) и (1.24) получим уравнения:

L = ( V₀ cos α) t; (1.25)

Н - gt²/ 2 = ( V₀ sinα) t – gt²/2 или Н = ( V₀ sinα) t. (1.26)

Разделив (1.26) на (1.25), получим соотношение

H / L = sinα / cos α = tg α, откуда α = arc tg H/L. (1.27)

Выражение (1.27) показывает, что вектор V₀ скорости тела В должен быть направлен точно в точку, где в начальный момент находится тело А. Только в этом случае возможно столкновение тел А и В.

Минимальная величина этой скорости должна быть такой, чтобы тело В за время падения тела А с высоты Н смогло пролететь по оси Х расстояние равное L, в этом случае столкновение тел произойдёт в точке падения тела А. Уравнения движения тел примут вид:

для тела А: 0 = Н – gt _п²/ 2; (1.28)

для тела В: L = ( V₀ cos α) t_п. (1.29)

Здесь t_п – время свободного падения тела А. Решив систему уравнений (1.28) и (1.29) относительно V₀ , получим выражение

V₀ = [g (H² + L²) / 2H]^1/2 (1.30)

При всех начальных скоростях тела В больших значения, определяемого соотношением (1.30), столкновение тел А и В происходит обязательно, и чем больше значение V₀, тем координата У точки столкновения будет больше, конечно, если вектор начальной скорости направлен под углом к горизонту, определяемым соотношением (1.27).

Задача №3. Определить время качения шарика по плоскости ХОУ, которая наклонена к плоскости горизонта под углом β, если он пущен под углом α к оси ОХ со скоростью V₀ (рис. 4). Трением шарика о поверхность пренебречь.

В этом случае составляющая скорости шарика V_0У будет меняться за счёт действия составляющей ускорения g_У, которая равна

g_У = g sinβ. (1.31)

Тогда уравнение координаты У примет вид:

У = V_0У t - g_У t²/2 = (V₀sinα)t - (g sinβ)t²/2. (1.32)

Качение шарика по плоскости завершится в момент времени t_k, когда он пересечёт ось ОХ в точке с координатой Х =Х_max.

В этот момент координата У шарика станет равной нулю и уравнение (1.32) примет вид:

(V₀sinα)t_k - (g sinβ)t²_k/2 = 0, (1.33)

откуда время качения

t_k = 2 (V₀sinα) / (g sinβ). (1.34)

Как видно из (1.34) время качения шарика при одинаковых начальных скоростях V₀ будет тем больше, чем меньше угол β наклона плоскости ХОУ к

горизонтальной плоскости.

Задача № 4. Шарик, падая вертикально, отскакивает от абсолютно твёрдой наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, со скоростью V₀. Определить на каком расстоянии от точки падения шарик снова упадёт на наклонную плоскость.

При абсолютно упругом ударе шарика о наклонную плоскость угол отскока α от наклонной плоскости равен углу падения шарика на наклонную плоскость, т.к. составляющая скорости вдоль наклонной плоскости остаётся постоянной, а составляющая перпендикулярная наклонной плоскости меняет направление на противоположное, сохраняя свою величину. В данной задаче удобно направить оси координат так, как показано

на рис. 5 (ось ОХ вдоль наклонной плоско-

сти, ось ОУ - перпендикулярно ей).

Уравнения движения шарика вдоль координатных осей будут иметь следующий вид:

Х = ( V₀ sin α) t + (g sin α) t² / 2; (1.35)

У = ( V₀ cos α) t –(g cos α) t² / 2. (1.36)

При t равном времени полёта t_п Х = Х_max, а У = 0. Тогда уравнения (1.35) и (1.36) принимают вид:

Х_max= ( V₀ sin α) t_п+ (g sin α) t_п² / 2; (1.37)

0 = ( V₀ cos α) t_п–(g cos α) t_п² / 2. (1.38)

Из (1.38) определим время полёта

t_п = 2V₀/g. (1.39)

Шарик упадёт на наклонную плоскость на расстоянии от точки падения равном

Х_max = 4 V₀² sin α / g. (1.40)

Координатный метод используется при решении задач о движении заряженных частиц в электрическом однородном поле. В этом случае необходимо определить величину и направление вектора ускорения, сообщаемого электрическим полем заряженной частице, а затем составить уравнения движения.

Задача № 5. Электрон влетает в область однородного электрического поля напряжённости 200 В/м со скоростью 10⁷м/с. Определить, на каком расстоянии от места входа в поле электрон выйдет из него, если он влетает под углом 45^ок направлению поля.

На электрон в электрическом поле действует сила F = eE. Здесь Е – вектор напряжённости электрического поля, е – заряд электрона. Так как заряд электрона отрицательный, то сила направлена против направления силовых линий электрического поля или против направления вектора напряжённости. Эта сила вызывает ускорение

а = F/m = Ee/m, (1.41)

которое, как и сила, направлено против электрического поля (рис. 6). Направив ось ОХ вертикально, а ось ОУ горизонтально, получаем ситуацию равносильную движению материальной точки, брошенной под углом к горизонту в поле тяготения Земли.

Уравнения движения электрона будут иметь вид:

Х = (V_o sin α) t; (1.42)

У = (V_o cos α)t – at²/2. (1.43)

Электрон покинет область поля в точке, имеющей координаты Х = Х_max и У = 0. Определим время пребывания t _п электрона в электрическом поле из уравнения:

0 = (V_o cos α)t_п – at_п²/2; t _п = (2V_o cos α)/a = (2mV_o cos α)/Ee. (1.44)

Тогда Х_max = (2m V_o² sin α cos α)/Ee = (m V_o² sin 2α)/Ee, (1.45)

Подставив значения физических величин, данных в задаче (V_o,Е,α) и заимствованных из таблицы фундаментальных физических постоянных (е, m) получаем Х_max = 2,8 м.

Задача № 6. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора от прямолинейной траектории будет больше отклонения α-частицы?

Электрическое поле конденсатора считается однородным. Силовые линии такого поля перпендикулярны пластинам конденсатора и параллельны друг другу. Напряжённость поля Е является постоянной величиной. Поскольку протон и α – частица имеют положительный заряд, то сила, действующая на них со стороны электрического поля, направлена по направлению вектора напряжённости Е поля. Такое же направление будет иметь вектор ускорения а, вызванного действием этой силы (рис. 7). Ось ОХ направим параллельно пластинам конденсатора, ось ОУ – перпендикулярно пластинам вверх. Запишем уравнения движения заряженных частиц в этом поле:

Х = V_o t ; (1.46)

У = at²/2. (1.47)

Время пролёта частиц сквозь область электрического поля определится из соотношения t_п = L/V_o, (1.48)

где L – длина пластин конденсатора.

Отклонение от прямолинейной траектории частиц

У_max = at _п²/2 = а L²/2V_o². (1.49)

Ускорение, получаемое частицей в электрическом поле, определяется также как и в предыдущей задаче,

a = q E / m. (1.50)

Подставив (1.50) в (1.49), получаем

У_max = q E L²/ 2 m V_o² . (1.51)

Заряд α – частицы в 2 раза больше заряда протона, а её масса в 4 раза больше массы протона. Отношение отклонений частиц электрическим полем конденсатора определится соотношением

У_{р max} / У_{α max} = q_p m_α / q_α m_p = 2. (1.52)