§1. Координатный метод решения задач.

Этот метод широко используется при решении задач по механике во всех её разделах: кинематике, динамике, статике.

1.1. Решение кинематических задач координатным методом.

Основной задачей кинематики является составление уравнений координат тела (материальной точки) как функции времени. В школьном курсе физики это уравнение вида

Х = Х₀ + V_0х t + а_х t²/ 2. (1.1)

Здесь Х₀ - начальная координата материальной точки, V_0x – проекция вектора начальной скорости на ось ОХ, а_x– проекция вектора ускорения на ось ОХ.

Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля вектора на косинус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси. В зависимости от угла α проекция вектора может быть положительной при 0^о ≤ α < 90^о _, равной нулю при α = 90^о, отрицательной при 90^о < α ≤ 180^о. На рис. 1,а показано определение проекции вектора начальной скорости V_oх на ось ОХ, на рис. 1,б – проекции вектора ускорения а_х.

а) б)

Рис. 1

а) V_0x = V₀ cos α ; б) a_x = а cos (180^o – α ) = ­­- a cos α. (1.2)

Проекция вектора скорости положительна, а проекция вектора ускорения – отрицательна. Знак проекции вектора определяется знаком косинуса угла α.

Из уравнения (1.1) можно получить уравнение для проекции на ось Х вектора скорости как функции времени путём дифференцирования (1.1) по времени.

V_х = dx/dt = V_0х + а_хt. (1.3)

Умение составлять уравнения (1.1) и (1.3) и является одним из главных умений, необходимых для решения кинематических задач.

Наиболее общей задачей на движение тела в поле силы тяжести (гравитационном поле) является задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту.

Задача №1. Девочка бросает мяч с балкона, находящегося на высоте h от поверхности земли, под углом α к горизонту со скоростью V₀. Определить время полета мяча до земли, дальность полёта (координату X_max точки падения), наибольшую высоту полёта мяча над землёй (максимальное значение координаты У_max мяча) и скорость мяча в момент его падения на землю.

Решение задачи начинается с выбора начала отсчёта, с которым совмещают начало координат ХОУ, рационально направив оси координат. В данном случае удобно начало отсчета и связанное с ним начало координат выбрать на поверхности земли под балконом, направив оси Х и У соответственно горизонтально и вертикально. Отмечаем на оси У начальную координату мяча У₀ = h, направляем вектор начальной скорости V₀ под углом α к горизонту и изображаем траекторию полёта мяча, которая, как известно, представляет собой параболу. Точка пересечения параболы с осью Х определит координату X_max , значение которой даст дальность полёта мяча. Наибольшая высота полёта мяча определится значением координаты У_max вершины параболы. Рисунок к задаче будет иметь вид (рис.2). Для составления уравнений движения Х = Х(t) и У = У(t) вида (1.1) имеет смысл записать составляющие этих уравнений:

Х₀ = 0;

V_0x = V₀ cos α X = ( V₀ cos α) t (1.4)

g_x = 0;

У₀ = h;

V_0y = V₀ cos (90^{o –} α) =

V₀ sinα; У = h +V₀ sinα)– gt²/2 (1.5)

g_y = - g;

Далее начинается аналитическая работа с уравнениями (1.4) и (1.5). Через время t_п (время полёта мяча) координаты мяча примут значения: Х = Х_max, у = 0. Тогда уравнения (1.4) и (1.5) примут вид:

Х_max = V₀(cosα)t_п; (1.6)

0 = h + ( V₀ sinα) t_п– gt_п²/ 2. (1.7)

Решая квадратное уравнение (1.7), находим время полёта мяча t_п.

t _п = [ V₀ sin α + (V₀² sin²α + 2gh)^1/2]/g , (1.8)

которое имеет только одно значение. Второе - отрицательное значение t_п, которое следует из решения квадратного уравнения, не возможно. Здесь и далее корень квадратный из числа записывается как это число в степени ½.

Подставив значение t_п в уравнение (1.6), определяем дальность полёта мяча Х_max.

Х_max = V₀(cosα) = V₀(cosα) [ V₀ sin α + (V₀² sin²α + 2gh)^1/2]/g. (1.9)

В верхней точке траектории мяча высота его полёта максимальна, а проекция скорости на ось ОУ равна нулю. Для продолжения решения необходимо перейти к уравнениям проекций скорости V на оси Х и У как функциям времени. Взяв производные по времени от (1.4) и (1.5), получаем:

V_x = V₀ cos α; (1.10)

V_y = V₀ sinα - gt. (1.11)

Уравнение (1.10) показывает, что вдоль оси ОХ мяч летит равномерно с постоянной скоростью, не зависящей от времени. Движение мяча вдоль оси ОУ является равнопеременным (при движении до верхней точки полёта – равнозамедленным, а затем становится равноускоренным). В момент времени t_в (время полёта мяча до верхней точки) проекция скорости V_y становится равной нулю, а координата У принимает максимальное значение у_max.

0 = V₀ sinα - gt_в; (1.12)

у_max = h + ( V₀ sinα) t_в– gt_в²/ 2. (1.13)

Определив из уравнения (1.12) время t_в,

t_в = (V₀ sinα) / g, (1.14)

подставляем его значение в уравнение (1.13) и определяем у_max- максимальную высоту полёта мяча.

у_max = h + ( V₀² sin²α) / 2g. (1.15)

Для определения скорости мяча в момент падения (время t_п) необходимо определить значения проекций этой скорости V_x и V_y в этот момент.