§ 10. Метод решения обратной задачи.

Многие физические явления, изучаемые в школьном курсе физики, рассматриваются в идеальных условиях. При рассмотрении механических явлений часто пренебрегают сопротивлением среды, трением, рассеянием энергии, поэтому такие явления носят обратимый характер. Для таких случаев направление прямого процесса можно заменить обратным процессом.

Задача № 52. С какого расстояния S от центра полусферы радиуса R =1,35 м, с какой скоростью и под каким углом β нужно бросить маленькую шайбу (из положения 1), чтобы она, попав на полусферу, остановилась на её вершине (положение 2) (рис.56,а)? Трением шайбы о полусферу и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с².

Сформулируем обратную задачу: на каком расстоянии S от центра полусферы, с какой скоростью V и под каким углом β упадёт шайба, скатывающаяся с вершины полусферы радиуса R (рис. 56,б)? Трением шайбы о поверхность полусферы и сопротивлением воздуха пренебречь.

Определим, с какой скоростью V₀, под каким углом α к горизонту и с какой высоты от уровня основания полусферы (R cosα) отрывается шайба от поверхности полусферы. Точка отрыва лежит ниже вершины на расстоянии равном h, поэтому скорость шайбы в момент отрыва определится по формуле: V₀ = (2gh)^1/2. (9.31)

В момент отрыва шайбы от поверхности сферы сила реакции опоры становится равной нулю, сила трения равна нулю по условию, поэтому единственной силой, действующей на шайбу в этот момент, является сила тяжести. Точка отрыва шайбы является точкой перехода её траектории с дуги окружности радиуса R на параболическую кривую. Составляющая силы тяжести, действующая вдоль радиуса, является силой, сообщающей шайбе центростремительное ускорение, поэтому скорость шайбы в момент отрыва можно определить по второму закону Ньютона:

mg cos α = m V₀²/R, откуда V₀ = (gR cosα)^1/2. (9.32)

Так как h = R(1 – cosα) (рис. 56,б), то: V₀ = [2gR (1 - cosα)]^1/2. (9.33)

Приравняв правые части равенств (9.32) и (9.33) определим косинус угла α, под которым направлен вектор V₀: cos α = 2/3. (9.34)

Подставив значение cos α в одно из уравнений (9.32) или (9.33), получаем значение скорости в момент отрыва шайбы:

V₀ = (2gR /3)^1/2 = (2 ^.10 ^.1,35 : 3)^1/2 = 3 м/с. (9.35)

Запишем уравнения движения шайбы после её отрыва в координатной форме, направив оси координат Х и У так, как показано на рис. 56,б:

Х = V_oxt = (V_o cosα)t; (9.36)

Y = V_oyt + gt²/2 = (V_o sin α)t +gt²/2 (9.37)

При t = t_п – времени полёта шайбы до точки падения, X = X_max, a

Y = R cos α = 1,35 ^. 2/3 = 0,9 м. Определим sin α = (1 – cos²α)^1/2 = (1 – 4/9)^1/2 = 5^1/2/3.

После подстановки t_п в уравнение (9.37) оно примет вид:

0,9 = 5^1/2t_п + 5t_п², (9.38)

откуда t_п = (5^1/2 + 23^1/2)/10 = 0,7 с.

Подставив значение t_п в (9.36) определим X_max = (V_o cosα)t_п = 3 ^. 2/3 ^. 0,7 = 1,4 м.

Точка падения шайбы лежит от центра полусферы на расстоянии

S = X_max + R sin α = 1,4 + 1,35 ^. 5^1/2/3 = 2,41 м.

Точка падения шайбы будет той точкой, откуда нужно бросить шайбу, чтобы она остановилась на вершине полусферы. Теперь определим скорость, с которой нужно бросить шайбу. Она будет равна скорости V, с которой шайба падает на горизонтальную поверхность:

V = (V_ox² + V_y²)^1/2 . (9.39)

V_ox = V_o cosα = 3 ^. 2/3 = 2 м; V_y = V_o sin α + gt_п = 3 ^. 5^1/2/3 + 10 ^. 0,7 = 9,24 м/с, подставив эти значения в (9.39), получим значение скорости

V = (2² + 9,24²)^1/2 = 9,45 м/с.

И, наконец, определим угол, под которым нужно направить вектор скорости V при бросании шайбы. Он будет равен углу β, под которым шайба падает на горизонтальную поверхность.

tg β = V_y / V_ox = 9,24/ 2 = 4,62; β = 77,8^o.

Таким образом, чтобы шайба, будучи брошенной, остановилась на вершине полусферы радиуса 1,35 м. её нужно бросить с расстояния 2,41 м от центра полусферы, со скоростью 9,45 м/с под углом 77,8^о к горизонтальной поверхности, на которой расположена полусфера.