8.5. Метод преобразования и расчёта цепей с помощью перехода «звезда» - «треугольник».
Этот метод основан на том, что схему, имеющую три узла, можно заменить другой, с тем же числом узлов. При этом сопротивление участка между двумя любыми узлами новой схемы должно быть равно сопротивлению заменяемого участка. В результате получается схема, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, то такую замену проводят в тех случаях, когда не нужно находить распределение токов.
Рассмотрим преобразование схем, имеющих три вывода (трёхполюсников).
Это преобразование называется преобразованием «звезды» (рис. 47,а) в «треугольник» (рис. 47,б), и наоборот.
В «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 + r2, в «треугольнике» R12 (R13 + R23)/(R12 + R13 + R23). Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо выполнение равенства:
r1 + r2 = R12 (R13 + R23)/(R12 + R13 + R23). (8.15)
Аналогично для точек 1 и 3 и для точек 2 и 3:
r1 + r3 = R13 (R12 + R23)/(R12 + R13 + R23). (8.16)
r2 + r3 = R23 (R12 + R13)/(R12 + R13 + R23). (8.17)
Сложив левые и правые части этих уравнений и разделив полученные суммы на 2, получим:
r1 + r2 + r3 = (R12 R13 + R12 R23 + R13 R23)/ )/(R12 + R13 + R23). (8.18)
Вычитая из (8.18) поочерёдно уравнения (8.17), (8.16) и (8.15), получим:
r1 = R12 R13/ (R12 + R13 + R23); (8.19)
r2 = R12 R23/ (R12 + R13 + R23); (8.20)
r3 = R13 R23/ (R12 + R13 + R23). (8.21)
Эти выражения легко запомнить: знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева: r1 - R12 R13; r2 - R12 R23; r3 - R13 R23.
Аналогично получаются формулы для обратного преобразования:
R12 = (r1r2 + r1r3 + r2r3) / r3; (8.22)
R13 = (r1r2 + r1r3 + r2r3) / r2; (8.23)
R23 = (r1r2 + r1r3 + r2r3) / r1. (8.24)
Выражения (8.22) – (8.24) также легко запомнить: числитель у всех выражений один и тот же, а у сопротивления, стоящего в знаменателе, стоит тот индекс, которого не достаёт у сопротивления, стоящего в левой части выражения.
Задача № 45. Определите сопротивление цепи АВ (рис. 48.а), если R1 = R5 =
1
Oм;
R2
= R6
= 2 Oм;
R3
= R7
=
3 Oм; R4 = R8 = 4 Oм.
Преобразуем «треугольники» R1 R2 R8 R4 R5 R6 в эквивалентные «звёзды», тогда схема примет вид, изображённый на рис. 48,б. Сопротивления r1, r2, r3, … r6 рассчитаем по формулам:
r1 = R1 R8/ (R1 + R2 + R8) = 4/7 Ом;
r2 = R1 R2/ (R1 + R2 + R8) = 2/7 Ом;
r3 = R2 R8/ (R1 + R2 + R8) = 8/7 Ом;
r4 = R4 R6/ (R4 + R5 + R6) = 8/7 Ом;
r5 = R5 R6/ (R4 + R5 + R6) = 2/7 Ом;
r6
= R4
R5/
(R4
+ R5
+ R6)
= 4/7 Ом;
Схема, изображённая на рис. 48,в является эквивалентной схеме на рис. 48,б.
Здесь R’3 = r2 + R3 + r4 = 31/7 Ом;
R’7 = r3 + R7 + r5 = 31/7 Ом, R’3 = R’7.
Общее сопротивление цепи
Rобщ = r1 + R’3/2 + r6 = 47/14 Ом.
Задача № 46. Определить общее сопротивление неуравновешенного моста (рис. 49,а) , если R1 = 1,0 Oм; R2 = 1,6 Oм; R3 = 2,0 Oм; R4 = 1,2 Oм; R5 = 2,0 Oм.
Если преобразовать «треугольник» из резисторов R1, R3, R5 в эквивалентную «звезду», то получится простая схема (рис. 49,б). Рассчитаем сопротивления r1, r2 и r3 по формулам: r1 = R1R3/(R1 + R3 + R5) = 0,4 Ом; r2 = R1R5/(R1 + R3 + R5) = 0,4 Ом; r3 = R3R5/(R1 + R3 + R5) = 0,8 Ом;
Общее сопротивление цепи Rобщ = r1 + (r2 + R2) (r3 +R4)/ (r2 + R2 + r3 + R4) = 1,4 Ом.