§ 7. Метод индукции.

Этот метод подобен методу математической индукции, с помощью которого устанавливается общая зависимость некоторых величин по их частным зависимостям.

Задача № 33. Гоночный автомобиль («болид») движется равноускоренно из состояния покоя. На первых десяти метрах его скорость возрастает на 10 м/с. Определить возрастание его скорости на тех же десяти метрах при прохождении от 990-го метра до 1000-го метра пути и сравнить с возрастанием на первых десяти метрах. Дать объяснение их значительному расхождению.

При решении задачи используем соотношение между изменением скорости и пройденным путём:

V² - V₀² = 2aS. (7.1)

Скорость автомобиля после прохождения первого десятиметрового отрезка ( S = 10 м) определится соотношением:

V₁² = V₀² + 2aS = 0 + 2aS = 2aS; ( 7.2)

после прохождения второго:

V₂² = V₁² + 2aS = 2aS +2aS = 4aS = 2V₁²; ( 7.3)

после прохождения третьего:

V₃² = V₂² + 2aS = 4aS + 2aS = 6aS = 3V₁² ; ( 7.4)

Следовательно, между обеими частями равенств (7.2) - (7.4) просматривается зависимость вида:

V_n² = n V₁², ( 7.5)

откуда связь между скоростью при прохождении n-го десятиметрового отрезка и первого выразится соотношением:

V_n = (n)^1/2 V₁ . (7.6)

Используя соотношение (7.6) определим скорость после прохождения

99 -го и 100 -го десятиметровых отрезков, соответственно,

V₉₉ = (99)^1/2 V₁, V₁₀₀ = (100)^1/2 V₁; (7.7)

тогда возрастание скорости на десятиметровом отрезке между 990 м и 1000 м пути составит:

Δ V_{(99 – 100)} = [(100)^1/2 – (99)^1/2] V₁ ≈ 0,5 (м/с). (7.8)

На первых десяти метрах скорость возросла на 10 м/с, а на сотом таком отрезке пути всего на 0,5 м/с. Это потому, что при прохождении сотого отрезка длиной в 10 м скорость автомобиля составляет около 100 м/с (360 км/ч), и «болид» проскакивает эти десять метров за очень малый промежуток времени, в течение которого и скорость увеличивается незначительно. Так как при равноускоренном движении ΔV = a Δt, то время проскакивания «болидом» этих десяти метров составит Δt = ΔV_{(99 – 100)} /a.

Ускорение можно определить из уравнения (7.2)

а = V₁²/ 2S = 10²/ (2 ^.10) = 5 м/с²,

тогда Δt = 0,5 м/с / 5 м/с² = 0,1 с.

Задача №34. Поршневым вакуумным насосом ( рис. 33) с рабочей камерой объёмом ΔV откачивают воздух из сосуда объёмом V от давления P₀ до давления Р_n (P_n< P₀). Определить число n ходов поршня, которое должно быть совершено при этом. Процесс откачки считать изотермическим.

Вакуумный насос – это устройство, которое при работе создаёт в объёме своей рабочей камеры ΔV пониженное давление (порядка 10 ^-3 – 10^-4 мм рт. ст.) Поэтому при подключении насоса к откачиваемому объёму общий объём становится равным V + ΔV, газ расширяется, заполняя оба объёма, и понижает своё давление. Тот газ, который заполняет рабочую камеру насоса, отсекается насосом и выталкивается в атмосферу. «Пустой» объём рабочей камеры вновь подключается к откачиваемому объёму. Происходит очередное расширение газа, приводящее к очередному понижению давления, и т. д. Так как процесс считается изотермическим, то, используя закон Бойля – Мариотта, можно для начального состояния газа в откачиваемом объёме и состояния газа после первого подключения рабочей камеры насоса записать уравнение:

Р₀V=P₁(V+ΔV), (7.9)

из которого определим давление в сосуде после первого хода поршня насоса

Р₁ = Р₀V / (V + ΔV ). (7.10)

Тогда после второго подключения можно записать уравнение:

Р₁ V = P₂ (V + ΔV ), (7.11)

откуда определим давление в сосуде после второго хода поршня насоса:

Р₂ = Р₁V / (V + ΔV ) = Р₀ [V / (V + ΔV )]². (7.12)

Аналогично для третьего хода поршня вакуумного насоса:

Р₂ V = P₃ (V + ΔV ),

P₃ = Р₂ V / (V + ΔV ) = Р₀ [V / (V + ΔV )]³. (7.13)

Из анализа уравнений (7.10), (7.12) и (7.13) просматривается зависимость, связывающая давление в сосуде после n-го хода поршня P_n c первоначальным давлением Р₀:

P_n = Р₀ [V / (V + ΔV )]ⁿ. (7.14)

Для нахождения числа ходов поршня n логарифмируем уравнение (7.14):

lg P_n = lg P₀ + n lg [V / (V + ΔV )], (7.15)

откуда

n = lg (P_n/ P₀) / lg [V / (V + ΔV )]. (7.16)

При достижении в откачиваемом объёме давления равного давлению в рабочей камере насоса (10 ^-3 – 10 ^-4 мм рт.ст.) процесс откачки прекращается и насос лишь поддерживает достигнутый вакуум.

Задача №35. На рис. 34 изображена система связанных грузов одинаковой массы m. Определить ускорение, с которым движется система, и силы натяжения нитей, связывающих грузы. Трением между горизонтальной поверхностью и грузами, расположенными на ней, пренебречь.

Поскольку все грузы связаны между собой, то они движутся с одинаковым ускорением. Запишем уравнения движения для каждого груза в отдельности:

mg – T₃ = ma;

T₃ - T₂ = ma; (7.17)

T₂ - T₁ = ma;

T₁ = ma.

Сложив левые и правые части равенств системы четырёх уравнений (7.17), получим уравнение:

mg = 4 ma, откуда a = g / 4 . (7.18)

Теперь определим силы натяжения нитей:

T₁ = ma = mg / 4;

T₂ = T₁ + ma = 2 mg / 4; (7.19)

T₃ = T₂ + ma = 3 mg / 4.

Анализируя уравнения (7.18) и (7.19), можно записать уравнения для ускорения и сил натяжения нитей в случае системы, состоящей из n одинаковых грузов, приводимой в движение силой тяжести одного из них.

a = g / n; T_k = k (mg / n), (7.20)

где n – общее число грузов, составляющих связанную систему, k – число грузов, которое приводит в движение k -ая сила натяжения.